非歐幾何的直線是什么

摘要： 對于非歐幾何中的直線，中學生感到很難理解。為了便于他們對非歐幾何有更直觀的認識，本文從非歐幾何的來源說起，敘述了非歐幾何中的直線是延續數學家的說法；從現代數學觀念看，此直線非彼直線；從直線與測地線之間的關聯，提出用測地線代替幾何中的直線可能更有利于傳播非歐幾何的一些常識。

關鍵詞： 非歐幾何 直線 測地線

幾何學中存在著歐氏與非歐幾何之分。然而在介紹到歐氏與非歐氏幾何的區別時，總有直線參與其中。那么非歐幾何的直線是中學生認可的直線嗎？

對于中學生而言，直線就是歐氏幾何里的直線，且在我們狹小的范圍內能明顯地感受到的。如手電筒的發射的光線給人直線的感覺，而關于非歐幾何的直線如果不重新解釋的話，非歐幾何就很難被直觀地感受到。如平面上的三角形的內角和是270°或100°，這對于中學生來講簡直是難以相信的。為了向中學生普及非歐幾何知識，因此要認識這里的直線。

這一切源于人們對《幾何原本》中的平行公設的懷疑，因為在《幾何原本》中的其它的公設都顯得精簡，只有平行公設顯得冗長，比較像定理。事實上，書中對平行公設的應用是很謹慎的，只有在不得不用的情況下才用了平行公設。這給后人一種感覺：平行公設可以用其它的公設證明出來（第一個最有影響的對平行公設的證明是由托勒密給出的，但沒有成功。公元5世紀著名的古希臘數學評論家普羅克拉斯就認為平行公設應當從幾何的公設、公理之中去掉），有很多人因此付出了很多的努力，但毫無結果。直到數學家薩開里開始用反證法來證明平行公設時，才有了轉機。他用反證法得到了一系列的結果，沒有得出相互矛盾的地方，但由于當時人們認為《幾何原本》是絕對的直理體系，不可能有與之不相同的幾何存在，所以最終也是草草收場。他的論證方法為非歐幾何的誕生打開了大門，但后來者依舊在犯與他同樣的錯誤。直到十九世紀，人們才覺得應該有另外的幾何存在，代表人物有高斯、鮑爾、羅巴切夫斯基。最終由于羅巴切夫斯基的堅持，非歐幾何才得以誕生，故羅巴切夫斯基被后人稱為“非歐幾何之父”。

然而非歐幾何一出現，就被人認為是不可思議的，很難令人接受的。直到1868年意大利數學家貝爾拉米利用當時微分幾何的最新研究成果，證明了非歐幾何的正確性，人們才漸漸地打消了懷疑的念頭。后來的數學家為了讓非歐幾何更容易被人們所理解，就著手為非歐幾何尋找現實的模型，其中克萊因和彭加萊的非歐模型較為典型。接著高斯的學生黎曼提出了黎曼幾何。這種幾何在愛因斯坦的廣義相對論中有重要的應用，且在后來的實驗中對于黎曼幾何的正確性作了更進一步的驗證，這為非歐幾何的發展找到了廣泛的、應用的基礎。數學家中再沒有人對非歐幾何表示懷疑，至于在非歐幾何的公設體系中仍采用直線的概念，是因為這對于專業人士而言不會有任何理解上的問題。

到了二十一世紀，集合悖論的出現，導致了數學的三大主義的出現，其中希爾伯特的形式主義更形象地對數學作了比喻：數學體系只滿足無矛盾的原則，即由一些最基本的幾個假設開始，進行一系列的推導，便可得到相應的數學體系（在這里不管這些假設的實在意義）。由此可解釋為何薩開里用反證法時并沒有考慮直線的實在意義，而只是遵從形式上的無矛盾的推導（那時只是一種反證法游戲所產生的一些好玩的結果，無法體會到真實的原型）。事實上，希爾伯特也希望用形式主義的體系包含一切數學（即由一些固定的假設，便可推導出所有的數學知識）。然而很快就被奧地利的數學家哥德爾的證明所否定，哥德爾在證明中指出了這樣的事實：在任何一個完備的數學命題體系中，總有無法證明或否定的命題。這就為歐氏幾何與非歐幾何的并存從理論上找到了有力的證明，即平行公設在《幾何原本》中是不可能得到證明，也不會被否定的，那么與平行公設相對的公設也同樣是如此。至此，可以認為在薩開里開始用反證法證明第五公設時，所用的直線已經發生了質的變化，即不再是歐氏幾何中的直線，它是抽象的直線或符號化的直線了。它包括歐氏幾何中的直線，也包括非歐幾何中所謂的直線。

至于在非歐幾何中的“直線”到底是什么？在黎曼幾何中給出了一個數學的定義，即這種“直線”乃是測地線。因為在黎曼幾何中，過兩點的距離最短的線一定是測地線。如在球面上的兩點，這兩點之間最短的連線一定在過這兩點的大圓上，而球面上的所有大圓都是測地線；在橢圓球上的兩點間的最短的線也在測地線上，用繃緊的橡皮筋固定在這兩點上所形成的就是橢圓球上的測地線，這種方法可用于尋找橢圓球上的測地線。另外羅巴切夫期基幾何后被克萊因稱之為雙曲幾何，引進普通直線作為測地線。如果按照測地線的定義，歐氏幾何中的直線定義與之有本質上的一致性。這種一致性表現在如下的描述中：“平面上的直線可以定義為由彼此有一部分重疊的線段組成的線。同理可以定義測地線，只是線段換成了最短線。換句話說，測地線是曲面上的這樣的曲線，它的每一個充分小的弧都是最短線。”所以在不區別歐氏幾何與非歐氏幾何中的直線，又不想引起不必要的誤會時，完全可用測地線取而代之，因為它們都是最短線。只需清楚地交代在平面中測地線就是直線即可，事實上也是如此的，在平面空間中沒有比線段還要短的曲線。總之，在任何光滑的面上的任意兩點之間的“直線”一定是這光滑面上的測地線。

事實上，在古代文明中，測地線就是用于丈量土地的線。在近似平面的空間中，測量土地的線段自然給人的感覺是一條筆直的線段，人們想象這樣的線段可以向兩端筆直地無限延伸成直線。如果真得要很精準的話，我們生活的世界不可能存在歐氏幾何中的平面及直線的模型，這些模型多少帶點彎曲。高斯曾經做過測量三個大山峰所形成的三角形的內角，試圖證明在生活中能找到內角和不等于180度的三角形，無奈他所選擇的山峰的范圍太小，試驗的結果與180度相差無幾，很難判定這是不是由測量的誤差所造成的，故不了了之。在非歐幾何的產生過程中，高斯是較早明確地知道這種幾何的存在性，他沒有公之于世，后來人們在他遺留的筆記中發現了這些，這與他的實驗失敗有關。也正是因為實驗的失敗，高斯將這類幾何稱之為星空幾何（因為他認為在星空中或許能找到這類幾何的現實模型）。現在設想一只螞蟻在一只球上，它想到達球面上離它有一段距離的米粒，它應如何走最短的線到達這米粒？這肯定是球面上的測地線，也即是大圓的某一部分。但這只球非常之大時，這只螞蟻肯定認為它所走的線是一條筆直的線段。

因此，歐氏幾何中的直線與非歐幾何的直線都可統一于測地線這個概念之下，便于中學生對非歐幾何認識和理解。他們至少能覺得非歐幾何是可以理喻的，這種幾何在某些時候還是有價值的，也還是值得他們去認真了解的。

參考文獻：

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（作者系安徽師范大學數計學院2006級研究生）