論數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)

摘要： 本文作者結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，探討如何通過(guò)概念教學(xué)及揭示證題規(guī)律培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

關(guān)鍵詞： 概念教學(xué) 證題規(guī)律 邏輯思維能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要培養(yǎng)的能力有兩類(lèi)：一類(lèi)是在很多活動(dòng)中都能表現(xiàn)出來(lái)的觀察力、記憶力、思維力、想象力等，是一般能力，即智力；另一類(lèi)是結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和運(yùn)用所反映出來(lái)的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，是特殊的能力，是學(xué)生應(yīng)具備的三種基本能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中不但要培養(yǎng)學(xué)生的一般能力，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的三種基本能力。

多年的教育實(shí)踐使我感到，剛剛跨入大學(xué)校門(mén)的學(xué)生，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，表現(xiàn)出對(duì)一些需要計(jì)算和涉及空間圖形的問(wèn)題比較得心應(yīng)手，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的思考便可順利地解決問(wèn)題。而對(duì)于需要利用概念、性質(zhì)、定理證明的問(wèn)題卻感到很困難，不知從何下手。這說(shuō)明，他們經(jīng)過(guò)中學(xué)階段的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，已經(jīng)基本具備了運(yùn)算能力和空間想象能力。邏輯思維能力雖然也得到了一定的培養(yǎng)，但還很欠缺，還需要進(jìn)一步的培養(yǎng)和提高。下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力談一下自己的粗淺認(rèn)識(shí)。

一、加強(qiáng)概念教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

概念是所研究的對(duì)象的本質(zhì)屬性在人的思維中的反映。在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，概念是所有性質(zhì)、定理及一些重要結(jié)論的基礎(chǔ)和前提，每一個(gè)理論都是一些必要的概念和公理通過(guò)邏輯演算和推理發(fā)展而形成的。所以在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，使學(xué)生真正理解和掌握有關(guān)概念，即理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延及其表達(dá)形式；了解有關(guān)概念之間的關(guān)系，形成系統(tǒng)的知識(shí)；運(yùn)用概念進(jìn)行正確的推理、分析和演算；形成運(yùn)用概念的熟練技能，直接關(guān)系到學(xué)生的邏輯思維能力的培養(yǎng)。因此，讓學(xué)生獲得準(zhǔn)確、清晰的概念是培養(yǎng)邏輯思維能力的前提。

有許多概念是根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展和解決問(wèn)題的需要而產(chǎn)生的。在概念教學(xué)時(shí)，要講清概念的形成，同時(shí)抓住概念的本質(zhì)特征進(jìn)行剖析，引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生明確概念的內(nèi)涵和外延，不被表面現(xiàn)象所迷惑。

例如，在講解“線(xiàn)性空間”的概念之前，先給出一些學(xué)生比較熟悉的集合的例子：數(shù)域F上的多項(xiàng)式全體的集合；空間中從原點(diǎn)出發(fā)的向量全體的集合；數(shù)域F上的m×n矩陣全體的集合。在教學(xué)時(shí)，先指出這些例子所具有的共同屬性：第一，都有兩個(gè)集合，一個(gè)是數(shù)域，另一個(gè)是非空集合；第二，都有兩種運(yùn)算，一個(gè)叫做加法的運(yùn)算，另一個(gè)叫做數(shù)乘的運(yùn)算；第三，這兩種運(yùn)算具有封閉性，并且滿(mǎn)足共同的八條運(yùn)算規(guī)律。然后指出具有這些屬性的數(shù)學(xué)對(duì)象相當(dāng)廣泛，為了對(duì)這類(lèi)對(duì)象用統(tǒng)一的方法加以研究，把兩種運(yùn)算概括抽象出來(lái)，并要求具有第三種屬性。通過(guò)這樣高度的概括和抽象，便自然地引出了線(xiàn)性空間的概念。又如：n階行列式、歐式空間等概念都是通過(guò)高度的概括和抽象而得出的。這樣不僅可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握概念，而且可以培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的目的。

二、揭示證題規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于性質(zhì)、定理、例題、習(xí)題等，能夠恰當(dāng)?shù)亟沂竞褪褂米C題規(guī)律，是進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的有效手段，揭示規(guī)律的過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、綜合、歸納、概括等能力的過(guò)程。這些能力的形成，對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和工作都會(huì)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

1.構(gòu)造性證明的證題規(guī)律

在高等數(shù)學(xué)的證明問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到證明存在性的問(wèn)題。像這類(lèi)問(wèn)題的證明多采用構(gòu)造性的證明，即要證明某事物的存在性，利用已知的條件和結(jié)論，構(gòu)造出一個(gè)符合要求的事物。這種證明問(wèn)題的規(guī)律在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常被采用。揭示這一證題規(guī)律，可以進(jìn)一步地發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生具有創(chuàng)造性的邏輯思維。例如，證明任意兩個(gè)多項(xiàng)式都有最大公因式，這就是證明存在性的問(wèn)題，具體證明方法是：先利用“輾轉(zhuǎn)相除法”求出一個(gè)多項(xiàng)式，然后證明這個(gè)多項(xiàng)式就是這兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。這樣不僅給出了問(wèn)題的證明，還給出了求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式的一般方法——輾轉(zhuǎn)相除法。

又如，證明n維線(xiàn)性空間V的任一子空間V₁都有余子空間。為了證明這一問(wèn)題，先利用子空間V₁的基把它擴(kuò)充為V的基，添加上的向量生成V的一個(gè)新的子空間記為V₂，然后證明V₂就是V₁的余子空間。通過(guò)這樣的構(gòu)造性證明，不僅給出了求一個(gè)子空間的余子空間的具體方法，同時(shí)利用這一方法還可以得出一個(gè)結(jié)論：一個(gè)子空間的余子空間不唯一。

在教學(xué)中，遇到這類(lèi)構(gòu)造性的證明問(wèn)題時(shí)，教師都需要把證明問(wèn)題的規(guī)律和思路講清，反復(fù)經(jīng)過(guò)幾次這樣的證明問(wèn)題的教學(xué)后，學(xué)生就會(huì)潛移默化地掌握這一證題規(guī)律和思路，達(dá)到發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的目的。

2.間接證法的證題規(guī)律

有些命題往往不易或不能從原命題直接得到證明，而是通過(guò)證明它的等價(jià)命題，間接地達(dá)到證明原命題的目的。這種證明問(wèn)題的方法被稱(chēng)為間接證法。在教學(xué)時(shí)遇到這樣的證題，要把這種證法的證題規(guī)律向?qū)W生交代清楚。如間接證法中的反證法的證題規(guī)律是：先假設(shè)待證論題的結(jié)論不成立，然后根據(jù)已知的條件和假定推出一個(gè)顯示邏輯矛盾的結(jié)果，便可斷定待證論題的結(jié)論成立。在高等數(shù)學(xué)的證明問(wèn)題中，還經(jīng)常遇到p→（q∨r）的命題，它的證題規(guī)律通常是：先假定結(jié)論q或r之一不成立，然后證明另一結(jié)論一定成立，達(dá)到證明原命題的目的。

例如：設(shè)p（x）是不可約多項(xiàng)式，如果p（x）|f（x）g（x），那么p（x）|f（x）或p（x）|g（x）。這一問(wèn)題的證明就是采用先假定p（x）不能整除f（x），然后證明出p（x）|g（x）的間接證法，這樣便可斷定p（x）|f（x）或p（x）|g（x）。在教學(xué)時(shí)，要把各種證明問(wèn)題的規(guī)律，通過(guò)實(shí)例揭示給學(xué)生，這樣在培養(yǎng)學(xué)生證題能力的同時(shí)，又能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

總之，在教學(xué)時(shí)，應(yīng)注重對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)概念的教學(xué)，講清概念的形成、內(nèi)涵、外延。在進(jìn)行定理、性質(zhì)、例題等推理證明的教學(xué)時(shí)，應(yīng)通過(guò)講解證題的思路，揭示出證題的規(guī)律。這樣不僅可以幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，掌握科學(xué)的思維方法。