漫談“數”與“形”之統一

摘要：作為數學的兩個基本對象，“數”與“形”的關系歷來為數學家們所關注，并因此影響和推動了數學理論的發展?；仡櫋皵怠迸c“形”的歷史淵源，可以管窺數學之“統一”觀，也有助于學生們更好地理解數學。

關鍵詞：數；形；量坐標系；實數；統一觀

“數”與“形”是數學的兩個基本研究對象。早期的代數學與幾何學就是兩門分別研究“數”與“形”而獨立發展的數學分支。作為數學的兩個基本對象，“數”與“形”的關系歷來為數學家們所關注。并因此影響和推動了數學理論的發展?；仡櫋皵怠迸c“形”的歷史淵源，可以管窺數學之“統一”觀。也有助于學生們更好地理解數學。

一、“數”與“形”是量的表現形式

人類最早認識的“數”是正整數乃至正有理數。它們的形成無疑是現實世界的某些數量關系在人們頭腦中的反映。比如，對于描述諸如“五個蘋果”這種具有天然單位的“離散”的量，正整數是非常直接和方便的。但現實世界的某些量如距離、面積、重量等，并沒有天然單位。不過。這些“連續”量的大小卻可以用線段的長短來刻畫。對于適當規定單位長度的線段來說，其長度可以表示為某個正有理數。而此線段所刻畫的量也可以表示為正有理數。

于是產生這樣一個問題：對于任意一條線段以及任意規定的單位長度，這條線段的長度是否仍為正有理數?這個問題等價于下述問題：對于任意兩條線段a和b，是否存在共同的單位長度c，使這兩條線段的長度都是這個單位長度的整數倍?即是否任意兩條線段都具有“公度比”?對于這個問題。古希臘著名的畢達哥拉斯學派認為答案是肯定的，但卻沒有給出嚴格的證明。他們還從這個觀點出發，提出了著名的“萬物皆數”的哲學思想。畢達哥拉斯學派試圖把“數”與“形”統一在“數”的旗幟下，這個“數”當然是指正有理數?？上?，任意兩條線段具有“公度比”這個前提并不成立。

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