中學數(shù)學的多維教學與思維培養(yǎng)

摘要： 數(shù)學是思維的體操，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)貫穿數(shù)學教學的全過程。本文力圖通過對數(shù)學課堂教學實踐的多維呈現(xiàn)，指出培養(yǎng)學生思維品質(zhì)的多種有效途徑，為當前的數(shù)學教學提供了可資借鑒的經(jīng)驗和思考。

關(guān)鍵詞： 中學數(shù)學 多維教學 思維培養(yǎng)

數(shù)學思維能力的提高關(guān)鍵在于數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng)。學生的數(shù)學素質(zhì)實質(zhì)上就是學生的數(shù)學思維能力，要培養(yǎng)學生的思維能力，必須突出學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)。下面本人結(jié)合具體的教學實踐談點認識和體會。

一、充分發(fā)揮學生主體作用，培養(yǎng)思維的批判性和獨創(chuàng)性

學生的主體作用是讓學生自己通過練習來鞏固基礎(chǔ)知識，進一步總結(jié)知識間的聯(lián)系，使之系統(tǒng)化。在教學中要讓學生有充分的時間理解概念和命題，鼓勵他們互相討論、自由發(fā)言、各抒己見，不盲從，敢懷疑，變被動學為主動聽，從而激發(fā)思維的積極性。如在學習“三角形”這一章時，我讓學生根據(jù)三角形的定義“由三條線首尾順次連結(jié)所組成的圖形”，畫出三角形的形狀。結(jié)果學生都無一例外地畫出了三角形的圖形來。我又讓學生仔細推敲定義，根據(jù)定義畫出線段A—C—B，豈不也為三角形（由線段AB、BC、CA順次連結(jié)而成）？于是在批判否定之后，自然得出“由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)而成的圖形叫三角形”這一概念，并得出“三角形兩邊之和大于第三邊”這一定理來。

又如學生在證明“連結(jié)空間四面體ABCD四邊中點四邊形EFGH是平形四邊形”這一例題時（如圖），我問學生：如果E、F、G、H不是四邊中點，四邊形EFGH還會是平行四邊形嗎？學生就由平行四邊形的定義判定，積極地思考起來，發(fā)現(xiàn)結(jié)果是可能會是平行四邊形，隨后在教師的引導下得出：若四邊形EFGH的一組對邊與空間四邊形ABCD的一條對角線平行且比值相等即為平行四邊形。此時，我又問學生，若四邊形EFGH的一組對邊與空間四邊形ABCD的一條對角線只平行而比值不等時是什么圖形？學生略加思考就答出是梯形。緊接著就引導學生觀察空間四邊形ABCD的對角線是異面的，而且夾角即為所得平行四邊形EFGH鄰邊所夾的角。同時又向?qū)W生提出：在什么條件下平行四邊形是矩形、菱形、正方形？學生在認真思考后得出如下結(jié)論：（1）四邊形EFGH的一組對邊與一條對角線平行而比值不等時為梯形。（2）四邊形EFGH的一組對邊與一條對角線平行且比值相等時是平行四邊形。其中，當空間四邊形ABCD的對角線垂直時，平行四邊形EFGH為矩形；當空間四邊形ABCD的對角線相等時，平行四邊形EFGH為菱形；當空間四邊形ABCD的對角線垂直相等時，四邊形EFGH是正方形。通過簡短的導語，把學生引入主體思考的探索新知識境地，從而提高了思維的創(chuàng)造性。

二、充分發(fā)揮教師的主導作用，培養(yǎng)思維的敏捷性和靈活性

教師的主導作用，是引導學生總結(jié)知識、分析問題、強化直覺思維、求異思維等思維訓練，使他們能夠用正確的思維方式迅速找到解題的途徑。

例1：已知a 、a 、……a 是n個正數(shù)，且滿足a #8226;a ……a =1，求證：（2+ a ）（2+ a ）……（2+a ）≥3。

析與解：從特征數(shù)字“3”這個“直覺點”得到啟示，可將不等式左邊的每一個因式湊成三項，于是想到把“2”變?yōu)椤?+1”利用三項的均值不等式即可得證。

例2：已知方程ax -2（a-3）x+a-2=0中，a為負整數(shù)，試求使方程至少有一個整數(shù)解時a的值。

析與解：以x為主元求根，必須對a進行討論，勢必繁瑣。若變更主元，將方程變?yōu)椋▁ -2x+1）a=2-6x，顯然x≠1，故有a=（2-6x）/（x -2x+1）。要使a為負整數(shù)，由（1）知必有2-6x＜0，|x -2x+1|≤|2-6x|，解得4- ≤x≤4+ ，且 x≠1。故x的允許值為：2，3，4，5，6，7。逐一試驗知，使a負整數(shù)的x僅有2，3。此時，相應(yīng)的A值為-10，-4。

三、充分利用習題的輻射作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和深刻性

對于一道習題，教師一方面要引導學生多角度探求其解法，訓練發(fā)散思維，培養(yǎng)思維的廣闊性；另一方面要引導學生總結(jié)解這道題的典型方法與技巧并用于解同類問題中，使學生深刻領(lǐng)會，牢固掌握其方法的實質(zhì)，這有利于培養(yǎng)思維的深刻性。

例3：已知x +4(y-1) =4，求x +y 的最值。

解法1：把二元問題化為一元問題。

由x +4(y-1) =4得x =4-4(y-1) ≥0

所以0≤y≤2

把x 代入U=x +y 可得最值。

解法2：由已知注意到條件x /4+（y-1）=1，用三角代換可將二元函數(shù)化為三角函數(shù)。

令x=2cosa，y=1+sina（a為參數(shù)）從而求得最值。

解法3：由U=x +y 得x =U-y 代入x +4(y-1) =4

兩曲線相切的充要條件是方程有相等的實根，于是由△y=64-12U=0可得最值。

在解決數(shù)學問題的過程中，人們常常習慣于正面應(yīng)用定義、定理和法則來入手思考、分析，但有時會遇到從正面考慮不易解決的情況。這時若從問題的輻射面，如橫向、逆向、縱向等方面去考慮，從多角度觀察探討，則往往會開拓出廣闊而又深刻的思維天地來。

例4：求證：分別和兩條異面直線AB、CD同時相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線。（如圖2）

分析：由異面直線的定義，學生自然會想到若能判定直線AC、BD不同在任一個平面內(nèi)，無公共點即可。顯然從正面來說明兩條直線異面很難，甚至不可能。此時引導學生從空間中兩線的三種位置關(guān)系入手可得到兩條直線既不相交又不平行便是異面。那么怎樣說明直線AC、BD不相交也不平行呢？由此就有了用反證法的思想。

證明：假設(shè)直線AC∥BD或AC∩BD

則兩種位置關(guān)系均可確定一個面，

即A、B、C、D四點共面。

由公理1可知直線AC、BD共面這與已知矛盾，從而原例得證。

在立體幾何中這種方法時常會用到。

總之，數(shù)學是思維的體操，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)貫穿數(shù)學教學的全過程。我在幾年來的教學實踐中堅持不懈地嘗試著，結(jié)果使基礎(chǔ)程度不同的學生的數(shù)學思維能力均有明顯提高，數(shù)學成績總是在同年級平行班中名列前茅。因此，我認為在數(shù)學教學中，教師只要多方施法，相機誘導，一定能使課堂教學成為培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質(zhì)的良田沃土。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>