ＭＡＴＬＡＢ在《非線性控制系統(tǒng)》教學(xué)中的應(yīng)用

摘要： 本文研究了如何用MATLAB/SIMULINK直觀、簡(jiǎn)單、方便快捷地實(shí)現(xiàn)自動(dòng)精確繪制相軌跡圖和負(fù)倒相頻特性圖，從而對(duì)非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行相平面法和描述函數(shù)法分析。該方法為控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)提供了科學(xué)的、高效快速的手段。

關(guān)鍵詞：非線性控制系統(tǒng) 相平面 描述函數(shù) MATLAB/SIMULINK

一、用MATLAB繪制相軌跡圖

相軌跡圖繪制方法有：手工繪制概略圖、手工繪制近似圖和計(jì)算機(jī)繪制精確圖三種。本文只介紹計(jì)算機(jī)繪制精確圖的方法。

用MATLAB來(lái)繪制精確相軌跡圖，有兩種方法可供選用，一種是編制程序的方法，另一種是利用MATLAB的SIMULINK結(jié)構(gòu)圖來(lái)生成系統(tǒng)，下面分別進(jìn)行介紹。

1.用編制程序的方法繪制相軌跡圖的實(shí)質(zhì)就是求解微分方程的解。求微分方程數(shù)值解的方法有多種，MATLAB提供了求解微分方程的函數(shù)組，常用的有ode45，它采用的計(jì)算方法是變步長(zhǎng)的龍格—庫(kù)塔4/5的算法。ode45的調(diào)用方式為：［t，y］=ode45（odefun，tspam，y0）在用戶(hù)自己編寫(xiě)的MATLAB函數(shù)中既可以描述線性系統(tǒng)特性，也可以描述非線性系統(tǒng)特性。描述系統(tǒng)模型的文件名可以是由字符串變量名odefun給出；參數(shù)可以由初始時(shí)間t₀和中止時(shí)間tfinal構(gòu)成向量給出，如tspan=［t₀final］，參數(shù)y₀為系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值，其默認(rèn)值是一個(gè)空矩陣。函數(shù)調(diào)用后，將返回系統(tǒng)的時(shí)間變量t和狀態(tài)變量y。

2.利用MATLAB的SIMULINK結(jié)構(gòu)圖來(lái)繪制根軌跡的難點(diǎn)是如何構(gòu)成非線性系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖及如何設(shè)置非線性系統(tǒng)的初始條件，設(shè)置初始條件的方法主要有三種方法，下面一一介紹。

方法一：由積分器的internal設(shè)置初始值。雙擊積分器環(huán)節(jié)得到積分器對(duì)話(huà)框，選擇initial condition source中的internal，若變量初始值是1，則將initial condition中的0改為1。

方法二：由積分器的external設(shè)置初始值。雙擊積分器環(huán)節(jié)得到積分器對(duì)話(huà)框，選擇initial condition source中的external，點(diǎn)擊ok后，積分器就會(huì)有兩個(gè)輸入端，然后由階躍信號(hào)發(fā)生器的對(duì)話(huà)框設(shè)置初值。

方法三：不用積分器設(shè)置初始值的方法，初始值的大小由階躍信號(hào)的幅值決定，此時(shí)積分器內(nèi)部初始值為0，此法適用于結(jié)構(gòu)圖中只有一個(gè)積分器的情況。

在這里給出了一個(gè)按上述方法用MATLAB繪制的相軌跡圖，如圖1所示。

二、用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)

描述函數(shù)法是基于頻域分析法和非線性特性諧波線性化的一種圖解分析方法。該方法對(duì)于滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)要求的一類(lèi)非線性系統(tǒng)，通過(guò)諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。

用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)時(shí)，求解非線性特性的描述函數(shù)表達(dá)式和繪制非線性系統(tǒng)部分的負(fù)倒相幅特性曲線是關(guān)鍵。在這里介紹一下用MATLAB語(yǔ)言編程來(lái)求解非線性特性的描述函數(shù)表達(dá)式和繪制非線性系統(tǒng)部分的負(fù)倒相幅特性曲線。下面以飽和非線性環(huán)節(jié)為例來(lái)說(shuō)明一下典型非線性特性的MATLAB仿真。

這樣可以輕松、方便地求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)表達(dá)式，以此為基礎(chǔ)，我們也可以編程序繪制負(fù)倒相頻特性曲線，進(jìn)一步繪制出非線性系統(tǒng)部分的負(fù)倒相幅特性與線性部的頻率特性曲線，在圖3中給出了一個(gè)非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒相幅特性和它對(duì)應(yīng)線性部分的頻率特性曲線，有了這個(gè)仿真結(jié)果我們很容易看出：兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)兩個(gè)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

結(jié)論：

本論文以MATLAB/SIMULINK為工具，就常用的兩種分析非線性系統(tǒng)的方法（相平面法、描述函數(shù)法）進(jìn)行了仿真研究。仿真結(jié)果證明MATLAB/SIMULINK確實(shí)為非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)提供了科學(xué)的，高效快速的手段。

參考文獻(xiàn)：

［１］李宜達(dá).控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真.北京：清華大學(xué)出版社，2004年10月.

［２］夏德鈐.自動(dòng)控制理論.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005年7月.