幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

摘 要：信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合研究已成為熱門話題。《幾何畫板》可以有效反映圖形運動變化、數(shù)形結(jié)合、探究規(guī)律、創(chuàng)造情境、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和增強教學(xué)效果等。它可以為教師的有效教學(xué)、師生的共同探究和學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)提供良好的平臺。

關(guān)鍵詞： 幾何畫板 中學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(實驗)》中強調(diào)：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡實現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機整合，整合的基本原則是有利于學(xué)生認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)。”信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合已經(jīng)逐步走入了數(shù)學(xué)課堂，并取得了一定的成效。但是，本應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用的優(yōu)秀的數(shù)學(xué)工具——《幾何畫板》，卻沒有被廣泛應(yīng)用。總地看來，主要原因是中學(xué)數(shù)學(xué)教師對《幾何畫板》在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用模式不熟悉。為了提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師對《幾何畫板》的運用能力，對幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用模式的研究就顯得尤為重要。

一、教師演示的工具

1. 繪制精確的幾何圖形

在傳統(tǒng)的幾何教學(xué)中使用黑板和粉筆繪出的圖形都是靜態(tài)的，教師往往只是在給出有限幾個圖形之后，就將一些重要的規(guī)律和定理介紹給學(xué)生，這就使得學(xué)生不能完全理解吸收。《幾何畫板》不僅畫圖非常方便、準確，而且能使靜態(tài)的圖形運動起來。這樣就使學(xué)生非常容易地在圖形的不斷變化的過程中發(fā)現(xiàn)其不變的內(nèi)在規(guī)律。

化靜為動。平面幾何是一門研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的一門學(xué)科，它的精髓是在不斷變化的圖形中，研究其中不變的規(guī)律和性質(zhì)。利用《幾何畫板》的自動測算功能，可以使學(xué)生更容易地理解定理。

化抽象為直觀。在立體幾何中，利用《幾何畫板》的移動功能，可以將抽象的立體圖形轉(zhuǎn)化為比較直觀的圖形，方便學(xué)生的觀察。

2. 繪制精確的函數(shù)圖象

函數(shù)是以運動變化的觀點對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的刻畫，這就意味著它是對學(xué)生進行素質(zhì)教育的重要材料。函數(shù)的兩種不同表達方式——解析式和圖象——之間往往需要相互對照，也就是說需要學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合的思想。利用《幾何畫板》可以根據(jù)函數(shù)的解析式快速而且準確地作出函數(shù)的圖象，并且可以在同一個坐標(biāo)系中作出多個函數(shù)的圖象。如在同一個直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x 、y=x 和y=x 的圖象，比較各圖象的形狀和位置，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)。由此可大大地提高課堂效率，進而起到事半功倍的效果。

3. 動態(tài)的演示點的軌跡

演示平面曲線運動的整體過程在解析幾何的教學(xué)中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》以其極強的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對動態(tài)的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關(guān)系。

二、師生共探的平臺

1. 平面幾何中的探究

在平面幾何中，雖然大多數(shù)都可以借用尺規(guī)在黑板上作出較為準確的幾何圖形，但對于一些逆命題的真假性的判斷，用尺規(guī)作圖往往使學(xué)生不易理解。而《幾何畫板》卻可以彌補它的不足。

2. 立體幾何中的探究

在立體幾何中，《幾何畫板》充分地展示出幾何圖形的線條美、色彩美和構(gòu)圖美，通過閃動點、線、面以及動畫技術(shù)表現(xiàn)出線、面的變化過程，創(chuàng)造良好的思維情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲。

3. 代數(shù)中的探究

例：（等周問題）用一條長為10cm的繩子，圍成怎樣的矩形，才能使得矩形的面積最大？這里利用《幾何畫板》的動態(tài)作圖將這一類問題解決得十分透徹。其制作過程如下：

（1）先畫一長為5cm的線段ED，在其上任取一點A；

（2）定義A為旋轉(zhuǎn)中心，將點E旋轉(zhuǎn)90°到B點，作矩形ABCD；

（3）作動畫A點在線段ED上移動。

這時矩形ABCD的周長均為10cm，但面積在不斷地變化著。為了找到面積變化的規(guī)律，可以指導(dǎo)學(xué)生按下列步驟進行探究：

（1）運動點A（只能在線段ED上運動），觀察矩形ABCD的周長和面積變化的規(guī)律；

（2）分別度量線段AB、BC的長度，矩形ABCD的周長和面積，依次選中AB、BC、周長和面積的度量結(jié)果后，點選“圖表——制表”制得一表格，運動點A后，雙擊表格得新的一行數(shù)據(jù)……（如圖1）觀察表格中矩形ABCD的周長和面積變化的規(guī)律；

（3）選中表格，點選“圖表——繪制點”，并以度量AB的長度作為自變量x（橫坐標(biāo)），矩形ABCD的面積作為因變量y（縱坐標(biāo)），在直角坐標(biāo)系中作出點P(x，y)，找出面積隨線段AB變化而變化的規(guī)律就是拋物線（如圖2）。

4. 平面解析幾何中的探究

在學(xué)習(xí)“圓錐曲線方程之拋物線及其標(biāo)準方程”時，我們可以利用《幾何畫板》幫助學(xué)生進行探究，使他們能自行探索出拋物線的定義。其探究過程可以如下：

（1）提問：“過直線l外一點C，作出與直線l相切于點D的圓。”學(xué)生很快就能畫出圖形。

（2）再問：“這樣的圓有幾個？”學(xué)生們都會說無數(shù)個。

（3）進一步提問：“那么這些圓的圓心的軌跡是什么呢？”學(xué)生經(jīng)過思考會回答：“在直線l上任取一點D，連接CD，作CD的中垂線l ，再過點D作直線l的垂線l ，l 與l 相交于點E，當(dāng)點D沿直線l運動時，點E的運動軌跡就是所求的軌跡。”

（4）打開《幾何畫板》，按照上述步驟作出一個圓，圓心標(biāo)記為E（如圖3）。

（5）對點D設(shè)置動畫，使其在直線l上運動，并追蹤點E，此時就能畫出一條光滑而優(yōu)美的拋物線（如圖4）。

（6）再進一步提問：“拋物線上的每一點都有什么特點？”學(xué)生們會馬上響應(yīng)：“拋物線上的每一點C到和直線l的距離相等。” “符合什么條件的點的軌跡是拋物線？” 于是，一個“新”的數(shù)學(xué)概念（拋物線的定義）被學(xué)生發(fā)現(xiàn)了。

三、學(xué)生探究的“實驗室”

在以往的課堂教學(xué)中，教師講授知識重結(jié)果，輕過程；重定理闡述與證明，輕直觀演示和實驗。由此，學(xué)生變成了知識容器和習(xí)題演練專家，惟獨不能研究問題、解決問題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)是一個被動吸收知識、記憶、反復(fù)練習(xí)的強化過程，而應(yīng)該是學(xué)生以一種積極心態(tài)，調(diào)動原有的知識來解決新的問題，同化新知識的過程。在這個過程中，如果能給學(xué)生創(chuàng)造一種積極的探索問題的情境，他們就能在解決問題的過程中理解并掌握抽象的概念。只有這樣，學(xué)生獲得的才是真正的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。

《幾何畫板》所具備的突出特點為數(shù)學(xué)過程中實施新的教學(xué)理念搭建了一個理想的平臺，為課堂教學(xué)注入生命的活力。如果有條件可以讓學(xué)生自己利用《幾何畫板》作圖，這樣可以讓他們在作圖的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，培養(yǎng)學(xué)生的動手和動腦能力，提高教學(xué)效果。

例如：在講授“一元二次函數(shù)的圖象性質(zhì)”一節(jié)時，為了讓學(xué)生理解二次函數(shù)f(x)=ax +bx+c中的參數(shù)a、b、c對其圖象的影響，我們可以用《幾何畫板》設(shè)計一個課件讓學(xué)生自己去動手探索，具體制作過程如下：

（1）打開《幾何畫板》，首先定義一個直角坐標(biāo)系，在軸上繪制三個點，并分別以這三個點為起點作x軸的垂線段，分別標(biāo)記為a、b、c。

（2）分別度量出垂線段a、b、c終點的縱坐標(biāo)，并修改其標(biāo)簽為a、b、c（如圖5）。

（3）以（2）中的度量結(jié)果為參數(shù)，構(gòu)造一個二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c，并繪制出它的圖像。

（4）計算出- 和 的值，分別以它們的值為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)繪制點（亦即拋物線的頂點），并過這一點作x軸的垂線（亦即拋物線的對稱軸）（如圖6）。

這樣，一個探索拋物線圖象性質(zhì)的課件就完成了。在教學(xué)時，可以讓學(xué)生來操作，學(xué)生通過移動垂線段a、b、c的終點來改變參數(shù)a、b、c的大小和符號，在改變的過程中觀察并記錄拋物線的變化情況，最后由教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)歸納出最終結(jié)果。

四、結(jié)束語

總之，《幾何畫板》在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的廣泛應(yīng)用和推廣，不僅帶來了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式的深刻變革，而且使學(xué)生接受知識的被動地位得以改變，真正實現(xiàn)了課堂教學(xué)中學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)地位，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和教師的教學(xué)能力都有著重要作用。

同時，在應(yīng)用的過程當(dāng)中也應(yīng)注意幾個問題：首先，《幾何畫板》是為教學(xué)服務(wù)的，它在教學(xué)中起的是輔助的作用，我們不能因此忽略了知識的傳授；其次，《幾何畫板》的作圖功能固然強大，但它的其他功能并不完善，我們在教學(xué)的過程中不能只使用《幾何畫板》一個工具，如果能和其他演示類軟件（如Powerpoint、Authorware等）結(jié)合起來制作課件，必能達到更好的教學(xué)效果。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2006：4-5.

［6］ 陳建祥.幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用［J］.中小學(xué)實驗與裝備，2004，14（2）：3-4.

［7］ 彭學(xué)軍，高曉玲. “幾何畫板”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.四川教育學(xué)院學(xué)報，2003，19：9-10.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”