高等代數(shù)課程創(chuàng)新教學(xué)研究

摘要： 高等代數(shù)是數(shù)學(xué)各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，本文主要從知識結(jié)構(gòu)、教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化以及學(xué)生思維積極性的調(diào)動等方面探討高等代數(shù)課程教學(xué)改革。

關(guān)鍵詞： 創(chuàng)新教學(xué) 高等代數(shù) 知識結(jié)構(gòu) 教學(xué)內(nèi)容

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，課程內(nèi)容可分為多項式理論和線性代數(shù)理論兩部分，以線性代數(shù)理論為重點。在傳統(tǒng)的高等代數(shù)教學(xué)中，主要以知識點的獨立講授為主，常常忽視知識點的應(yīng)用以及知識點的關(guān)聯(lián)；高等代數(shù)課程內(nèi)容從知識模塊角度可分為多項式理論、矩陣及線性方程組理論和線性空間理論，傳統(tǒng)的教學(xué)中，經(jīng)常忽視知識模塊的完整性；傳統(tǒng)的高等代數(shù)教學(xué)對于學(xué)生的主體地位體現(xiàn)不夠，不能很好地調(diào)動學(xué)生的思維積極性。針對傳統(tǒng)高等代數(shù)教學(xué)的不足，筆者結(jié)合兩年的教學(xué)實踐，以下從三個方面探討高等代數(shù)課程的創(chuàng)新教學(xué)。

1 對知識結(jié)構(gòu)的合理調(diào)整

我校高等代數(shù)課程使用的教材為北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系的《高等代數(shù)》第三版，講授時間為一年。以往的教學(xué)中，從第一章多項式知識開始講授，兩個問題：其一，大一的學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)的同時還學(xué)習(xí)解析幾何，而解析幾何課程一開始就要用到行列式相關(guān)理論，這就使得教師不得不在解析幾何課程中講授行列式的基本理論，浪費了課程資源；其二，第一學(xué)期只能講授前三章，這樣作為矩陣?yán)碚撝R模塊的二、三、四章就不能系統(tǒng)講授。所以現(xiàn)階段的教學(xué)把第一章多項式放到第二學(xué)期講授，這樣第一學(xué)期就集中教授矩陣和線性多項式理論模塊二、三、四章，既滿足了學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何對行列式知識的需求，也保證了知識模塊的完整性，同時方便了知識點的集中系統(tǒng)講授。

針對高等代數(shù)課程課時比較緊張的現(xiàn)狀，同時結(jié)合學(xué)生對知識的接受規(guī)律，對一些章節(jié)的講授做了適當(dāng)調(diào)整。首先，對于相對比較抽象而冗長的證明，主要布置給學(xué)生作為課后作業(yè)進(jìn)行閱讀和理解，讓學(xué)生主要以了解證明思路為主，例如代數(shù)基本定理的證明，矩陣的行秩與列秩相等等問題和定理的證明。其次，教材中所有帶*號的內(nèi)容都不在課堂上講授，把那些相對重要的內(nèi)容作為學(xué)生的課后讀物，例如最小多項式以及λ—矩陣相關(guān)內(nèi)容。同時，把第四章等的內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整，把初等矩陣的知識放在分塊矩陣的前面，主要是希望學(xué)生能通過初等矩陣的學(xué)習(xí)，了解矩陣的行或列的整體性，從而幫助學(xué)生理解分塊矩陣。

2 充分挖掘和利用知識點的關(guān)聯(lián)

高等代數(shù)知識以線性代數(shù)理論為重點，而在線性代數(shù)中，矩陣?yán)碚撌呛诵模砸跃仃嚴(yán)碚摓橹骶€，高等代數(shù)各知識點之間有著密切的關(guān)聯(lián)。如何利用這些知識點的關(guān)聯(lián)幫助學(xué)生理解高等代數(shù)的知識結(jié)構(gòu)是高等代數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵，在實際教學(xué)中，可以抓住以下幾個關(guān)系：

2.1 向量理論與矩陣?yán)碚摰年P(guān)聯(lián)

向量可以看作只有一行或者只有一列的矩陣，同時矩陣的行或者列都分別可以看作行向量或者列向量，于是矩陣就可以看作一個行向量組或者列向量組；反過來，一個向量組又可以“拼湊”成一個矩陣。抓住這樣的關(guān)系，向量與矩陣的知識就可以相互關(guān)聯(lián)，例如：

例1：求向量組α =(1，0，0，a)，α =（0，1，0，b），α =（0，0，1，c）的秩，其中a，b，c為任意常數(shù)。

2.2 矩陣?yán)碚撆c線性方程組理論的關(guān)聯(lián)

矩陣?yán)碚撆c線性方程組理論的關(guān)聯(lián)是很明顯的，比如與線性方程組密切相關(guān)的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，可以通過系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩的關(guān)系判斷線性方程組的解的情況，但利用方程組的理論解決矩陣問題卻經(jīng)常被忽視，比如下面的問題：

例2：若A B =0，證明：r(A)+r(B)≤n，其中r(A)表示矩陣A的秩。

證明思路：首先對矩陣B進(jìn)行分塊得到(β ，β ，…，β )，可得：

從而Aβ =Aβ =…=Aβ =0，這樣矩陣B的每一個列向量都是齊次線性方程組AX=0的解，由齊次線性方程組的相關(guān)理論容易證明r(A)+r(B)≤n。

2.3 其它知識點的關(guān)聯(lián)

高等代數(shù)中其它知識點的關(guān)聯(lián)還有很多，比如：（1）矩陣?yán)碚撆c線性變換理論的關(guān)聯(lián)，因為任何一個線性變換在一組基下都有一個矩陣和它對應(yīng)，同時線性變換的運算和矩陣運算有對應(yīng)關(guān)系；（2）多項式理論與矩陣?yán)碚摰年P(guān)聯(lián)，一個矩陣是否可對角化與它的最小多項式是否有重根有關(guān)系；（3）歐氏空間理論與對稱矩陣?yán)碚摰年P(guān)聯(lián)，等等。

3 通過思考題調(diào)動學(xué)生的思維積極性

數(shù)學(xué)的理論是抽象的，不容易引起學(xué)生的思維興趣，要想達(dá)到一個良好的教學(xué)互動和教學(xué)效果，通常有兩種做法：第一，介紹知識點的應(yīng)用；第二，應(yīng)用大量的思考題。下面就通過幾個例子介紹高等代數(shù)課程中的思考題的設(shè)立。

在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對很多知識點的理解經(jīng)常是片面的，這時候如果能夠適當(dāng)?shù)靥岢鲆恍┧伎碱}，同時糾正學(xué)生的錯誤回答，可以幫助學(xué)生更全面地理解知識。

思考題1：f(x)，g(x)，u(x)，v(x)∈P［x］，且d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，那么d(x)是否為f(x)，g(x)的最大公因式？

分析：這個問題是在學(xué)習(xí)完第一章第4節(jié)最大公因式的知識之后提出的，最初看到這個問題的時候，很多學(xué)生會認(rèn)為答案為“是”，原因是學(xué)生知道f(x)，g(x)的最大公因式d(x)都有表達(dá)式d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。教師最后給出否定的回答，并給出反例，讓學(xué)生了解不是所有問題的逆命題都是正確的。

思考題2：f(x ，x ，x )=(x ，x ，x )123132133x x x 是否為二次型？

分析：這個問題是學(xué)習(xí)完二次型第一節(jié)后提出的，當(dāng)最初接觸二次型的知識的時候，學(xué)生經(jīng)常對這個問題猶豫不決，主要原因是學(xué)生了解二次型的矩陣是對稱矩陣，但是這個式子中間的矩陣不是對稱矩陣，那這個不是一個二次型？如果我們回到二次型的定義，只要是一個二次齊次多項式，就是一個二次型。所以這個思考題的回答是肯定的，而且這個二次型的矩陣為13/223/235/225/23。最終通過這個思考題讓學(xué)生真正了解二次型的本質(zhì)結(jié)構(gòu)就是二次齊次多項式。

思考題還可以幫助調(diào)動學(xué)生的積極性，幫助學(xué)生加強(qiáng)對知識的理解，更重要的是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的問題，思考新的問題。

思考題3：在二次型研究中，為什么我們只關(guān)注非退化的線性替換？

分析：這個問題是在學(xué)習(xí)了二次型第二節(jié)以后提出的，讓學(xué)生通過對這個問題的思考了解非退化的線性替換賦予了二次型之間“相互”變化的能力，即若f(x ，x ，…，x)經(jīng)過非退化的線性替換X=CY，|C|≠0變?yōu)間(y ，y ，…，y )。由于|C|≠0，C 存在，則g(y ，y ，…，y )可經(jīng)過非退化線性替換Y=C X變?yōu)閒(x ，x ，…，x )。

如何提高高等代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量是每一位教師不斷思考的問題，以上的一些方法是筆者在近兩年的教學(xué)實踐中不斷思考和總結(jié)出來的。在以后的教學(xué)中，我們應(yīng)在課后作業(yè)、學(xué)生科研等方面尋求教學(xué)改革突破。

參考文獻(xiàn)：

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系.高等代數(shù)（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”