行列式計算的幾種新方法

【摘 要】本文擬針對行列式計算的不同題型，介紹相應的析因子法、加邊法、遞推法、超范德蒙行列式法等新方法，以期幫助同學們掌握更多的行列式計算方法，提高解題能力。

【關鍵詞】行列式 析因子法 加邊法 遞推法 超范德蒙行列式法

大家都知道關于行列式的計算有幾種基本方法：定義法、化三角法、行（列）展開法等。筆者在教學中發(fā)現(xiàn)，許多習題利用以上方法較繁瑣，而針對不同的題型，采用析因子法、加邊法、遞推法、超范德蒙行列式法等新方法，則收到意想不到的效果。

一、析因子法

所謂析因子法，就是當行列式D=0時，求得方程的根，從而將行列式轉化為其因子和積，這樣會大大減少計算量。該方法適用于主對角線上含 x多項式的題型。

例1 計算行列式

解：由行列式定義知D為x的4次多項式．

又，當x=±1時，1，2行相同，有D=0，∴x=±1為D的根．

當x=±2時，3，4行相同，有D=0，∴X=±2為D的根．

故D有4個一次因式，x+1，x-1，x+2，x-2．

設D=a(x+1)(x-1)(x+2)(x-1)，

令

二、加邊法

加邊法是把原行列式添加一行一列，且其值不變，所得的新行列式反而容易求出其值。該方法適用于除主對角線上元素外，各行（列）對應的元素分別相同的題型。

例2 計算行列式

解：利用加邊法計算。

三、遞推公式法

遞推公式法就是先將行列式表示兩個(或幾個)低階同型的行列式的線性關系式，再用遞推關系及某些低階（2階，1階）行列式的值求出D的值。該方法適用于行（列）中0較多的或主對角線上、下方元素相同的題型。

例3 計算行列式

解：

該二階齊次線性遞歸式的特征方程為x2=9x-20，其根為4，5．即有

于是有

同理有

例4 計算行列式

解：

所以

繼續(xù)下去，可得

四、超范德蒙行列式法

超范德蒙行列式法就是考察n+1階范德蒙行列式f(x)，利用行列式Dn與f(x)某元素余子式的關系計算行列式的方法。該方法適用于Dn具有范德蒙行列式形式的題型。

例5 計算行列式（超范德蒙行列式）

解：考察n+1階范德蒙行列式

顯然D就是行列式f(x)中元素xn-1的余子式Mn.n+1，即

又由f(x)的表達式（及根與系數(shù)的關系）知，f(x)中xn-1的系數(shù)為

即

當然，行列式的計算還有其它的方法，在此不一一而足。

參考文獻：

[1]王萼芳，石生明．高等數(shù)學［M］．高等教育出版社，2003．55-82．

[2]楊儒生，朱平天．線性代數(shù)習題集［M］．江蘇教育出版社，1996，7-36．

（作者單位：江蘇泰州師范高等專科學校）