淺談函數(shù)的對稱性

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué) 函數(shù) 對稱性

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高考考查的重點與熱點。函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個常見性質(zhì)，圖像的對稱關(guān)系充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，利用對稱性往往能簡捷地解決一些數(shù)學(xué)問題。

一、函數(shù)對稱性常用性質(zhì)

函數(shù)的對稱性一般體現(xiàn)在中心對稱和軸對稱。函數(shù)的奇偶性和周期性就是對稱性的直接體現(xiàn)，常見的有以下結(jié)論。

【性質(zhì)1】函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點O(0 ，0)對稱f(x)=-f(-x)。（這是奇函數(shù)的數(shù)與形的體現(xiàn)）。

推論1：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點M（a，b）對稱f(x)+f(2a-x)=2b

證明：因為函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點M（a，b）對稱，所以函數(shù)y=f(x)的圖像按向量a=（-a，-b）平移后對應(yīng)圖像的解析式為：y=f(x+a)-b，關(guān)于原點0(0，0)中心對稱，由性質(zhì)1知f(-x+a)-b=-［f(x+a)-b］，即f(a-x)+f(a-x)=2b，即f(x)+f(2a-x)=2b。反之也成立。

推論2：函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關(guān)于點M(a ，b)成中心對稱。

【性質(zhì)2】函數(shù)y = y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱f(x)=f(-x)。（這是偶函數(shù)的數(shù)與形的體現(xiàn)）。

推論3：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x = a軸對稱f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)。

證明：因為y=f(x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱，所以函數(shù)y=f(x)的圖像按向量a=(-a，0)平移后圖像的解析式為：y=f(x+a)，關(guān)于y軸對稱，由性質(zhì)2知f(x+a)=f(-x+a)，即f(a+x)=f(a-x)，即f(a+x)=f(a-x)。反之也成立。

推論4：函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對稱。

【性質(zhì)3】函數(shù)y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線y=x成軸對稱。

推論5：函數(shù)y=f(x)與x-a=f(y+a)的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對稱。

證明：x-y=a可以看作y=x-a，x=y+a，代入到y(tǒng)=f(x)中即得。反之也成立。

推論6：函數(shù)y=f(x)與a-x=f(a-y)的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對稱。

【性質(zhì)4】

①若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點A (a ，c)和點B (b ，c)成中心對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。

②若函數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個周期。

③若函數(shù)y=f(x)圖像既關(guān)于點A (a ，c) 成中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。

簡單地說，就是一個函數(shù)有兩個對稱中心，或者兩個對稱軸，或者一個對稱中心一個對稱軸，則函數(shù)具有周期性。

以下證明②，其余結(jié)論可由讀者自己證明。

證明：由已知和推論3，可得f(x)=f(2a-x)（*）和f(b+x)=f(b-x)（**），∵f(x)=f(2a-x)=f{b-［b-(2a-x)］}=f［（2b-2a）+x］∴y=f(x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。

二、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

【例1】定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x＞0時，f(x)=(x-1)2，求f(x)解析式。

解：本題實質(zhì)就是求函數(shù)f(x)=(x-1)2（x＞0）的圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)圖像的解析式。由推論2可知當x＜0時，f（x）=(-x-1)2，又因為是奇函數(shù)，所以f(0)=0。所以函數(shù)的解析式為f(x)=

【例2】設(shè)定義域為R的函數(shù)y=f(x)、y=g(x)都有反函數(shù)，并且f(x-)和g-1(x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，若g(5)=2006，那么f(4)=( )。

(A)2006（B）2008 （C）2010 （D）2012

解：∵f(x-1)和g-1(x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱

∴y=g-1(x-2)的反函數(shù)是y=f(x-1)

∵y=g-1(x-2)的反函數(shù)是y=2+g(x)

∴f(x-1)=2+g(x)

∴有f(5-1)=2+g(5)=2008f

∴f(4)=2008，應(yīng)選（B）

【例3】設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)=f(1-x)，當－1≤x≤0時，f(x)=-12x，則f(8.6)=

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)

∴x = 0是y=f(x)的對稱軸

∵f(1+x)=f(1-x)

∴x = 1也是y=f(x)對稱軸

∴y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，

∴ f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3

【例4】已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(-34，0)對稱，且滿足f(0)=-2，f(1)=1，f(x)=-f(x+32)，則f(1)+f(2)+f(3)+Λ+f(2008)的值為（ ）。

(A)-2 （B）-1 （C）0 （D）1

解：∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(-34，0)對稱

∴由推論1得f(x)+f［2×（-34）-x］=0，即f(x)=-f(-32-x)

∵f(x)=-f(x+32)

∴f(x+32)=f(-32-x)

令x=x+32，則f(x)=f(-x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)

∴由性質(zhì)4結(jié)論③，函數(shù)f(x)的一個周期為4｜-34-0｜＝3

∵f(3)=f(0)=-2，f(1)=1，f(2)=f(-2)=f(1)=1

∴f(1)+f(2)+f(3)+Λ+f(2008)=1，故選D。

【例5】 (06山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x+2)，則f(6)的值為（）。

(A)-1(B) 0(C)1(D)2

解：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)

∴f(0)=0

∵f(x+4)=f［（x+2）+2］=-f(x2)=f(x)

∴f(6)=f(2)=-f(0)=0

三、函數(shù)對稱性練習(xí)

（07天津）在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則f(x)

(A)在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)

(B)在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

(C)在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)

(D)在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

參考答案：（B）

（作者單位：河北河間華油四中）