“化動為靜”在行程問題中的運用

在小學數(shù)學課外興趣小組學習中，行程問題一直是學生學習中的一個難點，題目中紛繁的條件、變化多樣的運動狀態(tài)……這些表象妨礙了學生對行程問題本質(zhì)的把握和理解，使學生把注意力過多地集中在運動的狀態(tài)中。如何才能使學生透過這些運動表象的迷惑而輕松挖掘出行程問題的本質(zhì)含義呢?在教學中我設(shè)計了一種解題方案——“化動為靜”。這種方法具體表現(xiàn)在先假定一種正在運動狀態(tài)下的物體靜止不動，讓學生通過對另一種物體的單一運動過程進行分析，使學生在直觀示意圖中確定出運動路程，分析物體的運動規(guī)律，從而得出解答題目的正確方法。

“化動為靜”的主要作用是能快速地找出運動物體的路程，然后對運動物體的運動路程進行分析，判斷這個路程是屬于兩種運動物體的路程和(合行)還是路程差(多行)，進而選擇正確的解題策略。

下面我從線速度和角速度兩方面談一談“化動為靜”的具體運用。

一、“化動為靜”在線速度中的運用

如題：“一列快車長300米，正以30米／秒的速度從A城開往B城，前面有一列長450米的慢車以15米／秒的速度同向行駛，從快車車頭追上慢車車尾到兩車錯車為止，共需要用幾秒鐘?”

這是火車行程問題中較難的一類，學生不僅很難看出本題的火車運動路程，而且由于本題出現(xiàn)了兩個運動物體，這兩個運動物體都是有一定長度的，這為學生分析時帶來了一定的障礙。如圖1

如果思考時把兩個物體都看成運動狀態(tài)則很難確定快車追過慢車時的追及路程，在教學中我引導(dǎo)學生把慢車當作一種靜止物體，畫出示意圖2：

通過這幅示意圖學生能很清晰地看出快車要超過慢車必須比慢車多行的路程是：快車車長+慢車車長，也就是本題中的路程差。根據(jù)追及問題的解題方法可列式：(300+450)÷(30-15)求出本題的答案。

二、“化動為靜”在角速度中的運用

如題：“小明在3點55分開始做數(shù)學作業(yè)，做完時時針與分針恰好離鐘面上的數(shù)字‘4’距離相等(沒超過5點)，小明做數(shù)學作業(yè)用了多少分鐘?”

眾所周知，如果把鐘面平均分成12份，時針每小時會運行其中的一份，即60分行走30度，求出時針每分行0．5度；分針每小時繞鐘面旋轉(zhuǎn)一周，即60分行走360度，求出分針每分行6度。可僅僅了解這些常識性的知識還是很難解決上面的題目，同學們不能確定開始做題時分針與時針的具體位置，也不能確定解完題時分針與時針的具體位置，也就是說我們很難確定分針與時針的運動路程以及運動狀態(tài)(即本題屬于相遇問題還是追及問題)。

為了讓學生能確定分針與時針的起始位置，我們可以假定小明在4點整開始解題(那時容易求出時針與分針的距離為120度)，繼而使用“化動為靜”假設(shè)時針停止不動，它離數(shù)字“4”有0度，而分針如果也要離數(shù)字“4”為0度的話，它就要從數(shù)字“12”行到數(shù)字“4”，也就是說分針要行走30×4=120度。 (如圖3)

通過“化動為靜”，我們找到了分針與時針具體運行的路程，為解決本題提供了可行的依據(jù)，最后我們只需要確定這120度的路程是屬于路程和還是路程差即可。稍微想想就會明白，分針不可能到數(shù)字“4”，而時針一定會超過數(shù)字“4”，說明分針不可能比時針多行120度，而是分針與時針共同行走了120度，這120度是兩針的路程和，本題屬于相遇問題。解法如下：

4×30÷(6+0．5)=18 (分)

18+（60-55）=23（分）

答：小明做數(shù)學作業(yè)用了23分。

“化動為靜”的解題依據(jù)其實就是利用了參照物的原理。運用“化動為靜”時，往往把其中運動較慢的物體先假定不動，如果是追及問題，就相當于是從運動較快物體中取出與運動較慢物體相等的一部分速度，用來抵消運動較慢物體的運動狀態(tài)，使它保持靜止不動，運動較快物體剩余的速度(兩個運動物體的速度差)獨自行完兩個物體之間相距的路程(也就是兩個運動物體之間的路程差)；如果是相遇問題，就相當于把運動較慢物體的速度轉(zhuǎn)借給運動較快物體，使它以更快的速度(兩個運動物體的速度和)獨自行完兩個物體之間相距的路程(也就是兩個運動物體之間的路程和)。如果學生理解了化動為靜的操作方法，就可以在解題時把兩個運動物體之間互相穿插的紛繁運動狀態(tài)變得單一，它能使學生透過復(fù)雜的運動表象，直接去辨別有效的運動路程和速度關(guān)系，從而找出正確的解答方法。通過這樣的訓(xùn)練讓學生不僅了解數(shù)學知識，更能掌握解決問題的策略，增強學生運用所學知識解決實際問題的能力和信心。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”