解決問題中“數量關系”的教學應注重“三性”

鄭開華，小學高級職稱，福建省小學教學骨干教師，市中青年教學能手，先后授予中國數學教學專業委員會“先進教育工作者”、全國課程教材研究所“優秀教研員”稱號。現任莆田市秀嶼區教師進修學校教學教研員，兼任省小學數學教學研究會理事。

從教20余年來，先后在《福建教育》《小學數學教育》、《小學教學研究》等刊物發表論文、隨筆10余篇，撰寫20多篇文章參加全國、省級論文評選均獲一等獎，編寫1~6年級《導學練習》《寒（暑）假快樂作業》在福建出版社出版；指導青年教師參加數學課堂教學（含錄像課）比武，有12人次獲全國、省、市二等獎；多次應邀為市（區）小學教學骨干教師培訓、小學校長培訓、新課程知識培訓開設專題講座；主持的省級小學數學“問題解決”課題實驗已結題，其他3個課題研究尚在深入進行中。

生活隨感：坐在海石，依戀海納百川之情懷，感悟潮起潮落后寧靜。人生如斯也！

注重“三性”教學，就是通過新、舊應用題的聯系，讓學生在解決問題的過程中，通過觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流等活動，學會分析數量關系，學會歸類與建模，形成有序、嚴密地思考問題的習慣，提高解決問題的能力和應用數學的意識。

過去的應用題在新教材中不再單獨編寫，而是結合在四大知識領域之中，以解決問題的“問題情境—數學建模—解釋應用”模式編排的，呈現方式也是豐富多樣的，有圖畫、圖文、表格、對話、文字等。有的教師在具體實施教學中，對“解決問題”中的數量關系的分析存在誤區，不能很好地在繼承傳統的應用題教學中加以改革和發展。在此，筆者結合新教材中“解決問題”的教學內容，談談如何在分析數量關系中把握好“三性”：

一、分析數量關系應體現直觀性

由于小學生的思維與認知特點，決定了對解決問題中的數量關系分析必須直觀形象，做到直觀性分析與邏輯思維相結合。（如教學上圖）當天平平衡時，左右兩邊的物體同樣重。引出問題：“一個西瓜和幾個蘋果同樣重?”由于學生的抽象思維有困難，可以充分利用學具、圖片，用直觀的方式幫助學生理解，如用圓片代表西瓜，用正方形片代表砝碼，用三角形片代表蘋果，通過擺一擺、說一說來分析其數量關系：

（1）○=□□□□(一個西瓜重量等于4個1千克砝碼的重量)

（2）□=△△△△(4個蘋果等于1千克砝碼的重量)

（3）○=△△△△│△△△△│△△△△│△△△△

由（1）（2）推理（3），所以一個西瓜重量相當于16個蘋果的重量。

傳統上運用線段圖、集合圖等分析數量關系方法，也是直觀性學習的體現。

二、分析數量關系應體現有序性

有序分析數量關系，是提高學生解決問題的有效策略之一。如下圖教學時學生在教師的引導下有序地進行數量關系分析。

1.引導學生整體解讀題意。做到三要：一要注意表述條件與問題時的完整性；二要找出條件與問題的對應性；三要解讀數量關系的關鍵處。解讀本例“每30位游人需要派一位保潔員”時，需要明白兩點：其一是游人數與保潔員人數之間的關系，游人越多，派出的保潔員越多；其二是上午與下午派保潔員的標準一樣。為了幫助學生更好地理解這句話，教師可以問：多少位游人要派2位保潔員?90位游人要派幾位保潔員呢?這樣解讀，為學生分析數量關系，尋找解題思路作好鋪墊。

2.讓學生嘗試分析數量關系。這時教師要引導學生按照：要求下午比上午多派保潔員，應先求什么，再求什么……的思路去獨立思考，并嘗試解答，教師要巡視是否出現不同的解法。

3.注重交流解題思路。當學生嘗試解答后，要組織學生在全班交流不同的思考方法。如學生想不出第二種方法，教師要適當啟發：下午游人比上午多多少位?每多派一位保潔員，就得多多少位游人?怎樣求出下午比上午多派幾位保潔員?逐步引導學生列出算式（270-180）÷30，計算時，要使學生理解為什么先算括號里的，體會小括號的作用。

4.重視兩種不同解決方法的對比。引導學生從思路上、方法上和解題步驟上進行比較，在比較中體驗有序分析數量關系的重要性。

教師要注意加強數量關系的有序分析，在敘述解題思路時，要引導學生透過數看到量，用量的關系描述解題思路，幫助學生逐步掌握分析數量關系的要領。

三、分析數量關系應體現思想性

在分析和理解數量關系中，同樣要滲透數學思想方法，如模型思想、極限思想、轉化思想、類比思想、對應思想、集合思想、歸納思想、優化思想等。學生獲得一些數學思想方法又為提高數量關系分析的能力提供了有力保證。

1.在圖像中建立等量思想。在圖像中分析等量關系建立等量思想，可以分兩步進行：第一步，出示下圖，先讓學生說一說這個圖像表示什么，然后讓學生找出這個圖像中要表示男生的人數有幾種表示方式。同樣道理，可以討論女生人數和總人數的不同表示方式。第二步將男生人數8人改為x人，（如圖所示）然后再讓學生討論分析上述幾個問題，從而獲得這個圖像的方程x+10=18 18-x=10。

2.在文字表述中建立等量思想。例如，上述的題目可以改為文字表述：“興趣小組有18人，其中男生8人，女生10人”。根據這些條件，可以找哪些等量關系?（男生人數的等量，女生人數的等量，全組人數的等量）。然后將這三個條件中的一個或兩個改為字母表示，如“興趣小組有18人，其中男生x人，女生y人”，再次讓學生尋找等量關系，建立方程模型如18-y=x、18-x=y、x+y=18，初步使學生體會等量思想。

學生學會分析數量關系及解決問題的策略和步驟，這是顯性知識，學會依此類推遷移的數學思想則是隱性的，而且是重要的。例如計算不規則的物體體積，新教材采取的方法是將物體放入水中，通過計算水上升的體積（即轉化為計算長方體、正方體或圓柱體體積），從而得到不規則物體的體積。從顯性方面來說，數量關系的關鍵是“等積變形”，從隱性方面來說，是將未知轉化已知，學生把握這一數學轉化思想，不僅可以解決一兩個實際問題，而且依此類推能解決一大批這樣的問題。