例談幾何畫板在數學課堂教學中的應用

[摘要]幾何畫板的動態性和形象性，能夠讓學生在動態中觀察變動中不變的數學規律，有助于學生自主學習，自主發現，探索問題，充分體現了學生學習的主體作用，有效地提高了教學效率和教學效果。

[關鍵詞]幾何畫板 數學教學 應用

幾何畫板是一個適用于教學的軟件平臺。幾何畫板最大的特點是“動態性”，即可以用鼠標拖動圖形上的任一元素（點、線、圓），而事先給定的所有幾何關系（即圖形的基本性質）都保持不變，這樣更有利于在圖形的變化中把握不變的規律，深入幾何的精髓，突破傳統教學的難點，為學生提供了探究的機會，極大地調動了學生學習的積極性，有效地提高了教學效果。

下面就圓錐曲線的知識，談一談幾何畫板在數學課堂中的應用。

一、幾何畫板的理論依據——建構主義的學習觀

建構主義的學習觀認為，學習是一個積極主動地建構過程，學習者不是被動地接受外在信息，而是根據先前的認知結構主動地和有選擇地接受外在信息，建構當前事物的意義。也就是說，知識的獲得是通過學習者在一定的情境即社會文化背景下，借助于他人的幫助，利用必要的學習資料，通過人際間的協作活動而實現的意義建構過程。因此，在教學過程中不能離開學習者的背景知識和經驗，要充分尊重學生的主體性。

幾何畫板的動態性和形象性，給學生創造一個實際“操作”幾何圖形的環境，使學生在體驗與發現中學習，在較短的時間內產生許多經驗。學生在通過對幾何圖形進行觀察、探索、發現的過程中增加感性認識，形成豐厚的幾何經驗背景，通過自己的思考建立自己的數學理解力，從而更有助于理解和證明。

二、教會學生使用幾何畫板軟件

問題1.在橢圓及其標準方程教學中，為了更形象地讓學生在動態中觀察橢圓的運動現象，探究橢圓的性質，首先，我把制作橢圓的過程教給學生。

（1）在平面上作線段F1F2，度量出其長度，定義為2c。

（2）在同一平面上作一條線段AB，度量出其長度，定義為2a，使a>c。

（3）在線段AB上任取一點C，“構造”線段AC，度量AC的長度；“構造”線段BC，度量BC的長度。

（4）以線段AC為半徑，以點F1為圓心，“構造”圓C1。

（5）以線段BC為半徑，以點F2為圓心，“構造”圓C2。

（6）圓C1與圓C2交于點M，M1，“構造”線段MF1、MF2（提示：|MF1|=|AC|，|MF2|= |BC|），并選擇“跟蹤”點 M，M1。

（7）計算|MF1|+|MF2|的值。

（8）選中點C，在編輯菜單下操作類按鈕設置為動畫，標記為“軌跡”。

（9）當鼠標點擊“軌跡”按鈕時，點M，M1運動，運動的軌跡是橢圓。（或拖動點C在AB上運動，出現點M，M1的軌跡是橢圓。）

在點M運動的過程中，學生觀察到|MF1|+|MF2|的值始終保持不變，即橢圓滿足下列條件的點的集合：

P＝｛M｜|MF1|+|MF2|＝2a｝

很容易得出橢圓的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離之和是常數（大于|F1F2|）的點的軌跡稱為橢圓。對進一步利用“坐標法”研究曲線（橢圓）的標準方程，再利用曲線的方程討論曲線的性質，解決幾何問題，起到了很重要的作用。

幾何畫板的動態性，能夠把數學圖形動態直觀地展現出來，化抽象為具體，化具體為形象，有助于學生發現問題，啟發學生的思路，找到解決問題的有效方法，體現了數形結合的數學思想。

三、鼓勵學生作出猜想，參與探究

利用幾何畫板的動態性，可以讓學生在實驗的基礎上作出猜想，為教師培養學生探究性地建構知識提供環境，從而讓學生在探究中學習，在探究中自主地建構知識，提出猜想的結論，實現創新。

探究橢圓軌跡

問題2.在問題1研究橢圓的軌跡時，讓學生進一步探究：若改變線段AB的距離，曲線的形狀、大小有什么變化？為什么？學生可先對曲線的軌跡作出猜想，在紙上畫出曲線的軌跡。然后教師通過拖動A（B）點，改變AB的長度，驗證學生的猜測。結果發現：若F1、F2的距離不變，AB的長度越大，得到的橢圓越接近于圓；AB的長度越小，得到的橢圓越扁，越接近于線段F1F2；當AB的值等于|F1F2|時，其軌跡為一線段，與F1F2重合。

問題3.已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2。從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP′，求線段PP′的中點M的軌跡。

學生根據已知條件進行構圖，設置點P為“動畫”，追蹤點M，得到中點M的運動軌跡是橢圓，很容易就完成這個課件的制作。結論證明將圓按某個方向壓縮（拉長）都可以得到橢圓。

進一步探索：若把點P任意縮放，得到點M′，則點M′的軌跡仍是橢圓。

問題4.探究橢圓的第二定義：即到定點的距離與到定直線的距離之比e（0

分析：在x軸上任畫兩點E、F，過E作x軸的垂線L，構造線段AB、GH（|AB|<|GH|），在線段AB上畫一點C，度量出線段AC、AB，并計算ACAB，在線段GH上畫一點D，度量出GD=a，計算出GDe，構造出以點F為圓心，以GD為半徑的圓C1，將直線L按標記向量GDe平移得到直線L′，構造出直線L′與c1的交點M、N，構造出點M、N關于點D的軌跡即得到所求的橢圓。（隱去不必要的對象，結果如圖2）

幾何畫板的最大特色是動態性，使學生在動態中觀察數學現象，體驗知識的形成過程，探究幾何圖形的性質。因而，使教學更加直觀、生動，有利于激發學生的學習興趣，增強教學的趣味性。

四、參與教學過程，進行數學實驗

學生掌握了幾何畫板，可以更好地參與到教學過程中來，進行數學實驗，根據問題的內容，展示數學思想，進行數學學習、數學探索，體驗數學的本質，探究知識之間的聯系，發現數學規律，尋找解決問題的方法。

問題5.從橢圓到雙曲線（讓學生仿照探究橢圓軌跡的方法探究雙曲線的軌跡）。

圖3

在幾何畫板上畫一直線AB，在直線AB上任意畫一點C，再畫兩點F1、F2，使|F1F2|＞|AB|，以F1為圓心線段AC（即r1）為半徑畫圓，以F2為圓心線段BC（即r2）為半徑畫圓，圓F1與F2的交點是M、M′，改變點C的位置，點M、M′的軌跡是雙曲線。

由上面的畫圖過程可以看出，雙曲線是滿足下列條件的點的集合：

P＝｛M｜||MF1|－|MF2||＝2a｝．

我們把平面內與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。

在圖3中，|AB|＝2a，|F1F2|＝2c，|AB|＜|F1F2|，a＜c。

根據上述條件，學生仿照求橢圓的標準方程的做法，很容易求出雙曲線的標準方程并探究其幾何性質。五、自我探索，體現“多元聯系”

借助幾何畫板所提供的“多元聯系表示”的環境，使學生自我探索，揭示知識之間的內在聯系，探索出問題的一般規律，有助于加深對數學知識的理解和掌握。

問題6.圓錐曲線的統一定義：與定點和定直線的距離之比是常數e的點的軌跡（ e=ca，當01時軌跡為雙曲線；當e=1時軌跡為拋物線。）

分析：e的范圍不同，得出的曲線軌跡就不同。如何改變e的值，也就是說改變a，c的值呢？可通過作一角∠AOB，在角的一邊上任取一點A，向另一邊作垂線，垂足為B，設a=|OA|，c=|OB|，改變角的大小，即可改變a，c的值，e的值隨之變化，從而可探究出不同的曲線軌跡。（可依照問題4的作法）

參考文獻：

[1]方其桂，朱俊杰，陳亞鋒.幾何畫板4.x課件制作百例.北京:清華大學出版社，2004．

（作者單位：河南汝州市教師進修學校）