新課程理念下的數(shù)學(xué)抽象方法探究

[摘要]人類(lèi)是通過(guò)抽象獲得對(duì)自然界的本質(zhì)認(rèn)識(shí)的。通過(guò)抽象，我們?cè)谒枷肷习褌€(gè)別的東西以個(gè)別性提高到特殊性，再?gòu)奶厥庑蕴岣叩狡毡樾?，從而能夠真正地、深刻地理解和把握現(xiàn)實(shí)世界。數(shù)學(xué)科學(xué)是對(duì)客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系抽象的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)的一切理論都是抽象思維活動(dòng)的結(jié)果，高度抽象、逐級(jí)抽象是數(shù)學(xué)科學(xué)的基本特征。因此，抽象方法是數(shù)學(xué)活動(dòng)的一般方法。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)理論 數(shù)學(xué)抽象

所謂抽象，是指在認(rèn)識(shí)過(guò)程中，透過(guò)事物的現(xiàn)象，深入事物的里層，把事物的本質(zhì)抽取出來(lái)的一種方法。通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象意識(shí)，從而使學(xué)生在數(shù)學(xué)解題時(shí)有意識(shí)地區(qū)分主要和次要因素、本質(zhì)和非本質(zhì)因素，抓住事物的本質(zhì)，自覺(jué)地把某些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象概括為數(shù)學(xué)模型的習(xí)慣。抽象意識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)科高度的抽象性的反映。

數(shù)學(xué)抽象是抽象方法在數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用，也就是利用抽象方法把大量生動(dòng)的關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的直觀背景材料進(jìn)行去偽存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提煉數(shù)學(xué)概念，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)理論。

著名數(shù)學(xué)家歐拉在解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題時(shí)，撇開(kāi)島區(qū)、陸地的其他屬性，僅僅抽取它們都是橋梁的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，將其抽象成四個(gè)點(diǎn)。同樣，把七座橋抽象成七條線(xiàn)，線(xiàn)的長(zhǎng)短、曲直在這里無(wú)關(guān)緊要，要緊的是點(diǎn)線(xiàn)之間的相互聯(lián)結(jié)。于是，一次無(wú)重復(fù)地走過(guò)七座橋的問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為不重復(fù)地一筆畫(huà)成上述圖形的問(wèn)題。歐拉這一成功研究采用的就是數(shù)學(xué)抽象的方法。數(shù)學(xué)抽象是一種特殊的抽象，具體表現(xiàn)在它的內(nèi)容、程度和方法上。

一、內(nèi)容上的特殊性

數(shù)學(xué)抽象僅抽取事物或現(xiàn)象的量的關(guān)系和空間形式而舍棄其他一切。正如恩格斯指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)?！边@清楚地表明了數(shù)學(xué)抽象的特殊內(nèi)容：數(shù)學(xué)的抽象完全舍棄了事物的質(zhì)的內(nèi)容，而僅僅保留了它們的量的屬性，即數(shù)學(xué)抽象的目的意向只是數(shù)量關(guān)系和空間形式。這種特殊的抽象內(nèi)容決定了數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)的區(qū)別，也決定了數(shù)學(xué)抽象的特殊性；數(shù)學(xué)抽象具有量化特征和形式化特征。

二、數(shù)學(xué)抽象的特殊高度

和一般的自然科學(xué)相比，數(shù)學(xué)抽象的又一特點(diǎn)在于它所達(dá)到的高度，數(shù)學(xué)的抽象程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了自然科學(xué)中的一般抽象。

首先，數(shù)學(xué)抽象往往是在其他學(xué)科抽象基礎(chǔ)上的再抽象。例如，正比例函數(shù)是物理學(xué)中勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的再抽象。

其次，數(shù)學(xué)抽象具有逐級(jí)抽象的特點(diǎn)。在數(shù)學(xué)中，有些概念建立在對(duì)真實(shí)事物的直接抽象之上，從而具有較為明顯的直觀意義。但數(shù)學(xué)中還有許多概念則建立在較為間接的抽象之上，即建立在已有概念的抽象分析之上，從而使數(shù)學(xué)抽象具有層次性。例如，在平面幾何中，我們利用兩點(diǎn)間的距離去定義點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離，再定義互相平行的兩直線(xiàn)的距離，進(jìn)而去定義立體幾何中的諸距離概念。

更為重要的是，數(shù)學(xué)抽象的特殊高度表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中一些概念與真實(shí)世界的距離是如此遙遠(yuǎn)以致常常被看成“思維的自由想象物和創(chuàng)造往返”，這即為數(shù)學(xué)中所謂的“理想元素”（如無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)等）。

三、數(shù)學(xué)抽象的特殊方法

在數(shù)學(xué)研究中，無(wú)論涉及的對(duì)象是否具有明顯的直觀意義，都只能依靠相應(yīng)的定義去演繹推理，而不能求助于直觀。因此，從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)抽象就是一種建構(gòu)的活動(dòng)，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是通過(guò)邏輯建構(gòu)活動(dòng)來(lái)得到構(gòu)造的。我們可以把抽象分為：理想化抽象、強(qiáng)抽象與弱抽象、等價(jià)抽象、存在抽象等幾類(lèi)。

1.理想化抽象

所謂理想化抽象，是指通過(guò)抽象得到的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，并非就是客觀事物本身存在的東西，而是在純粹理想的狀態(tài)下，對(duì)事物進(jìn)行簡(jiǎn)單化與完善化的加工處理，撇開(kāi)事物的具體內(nèi)容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的本質(zhì)的屬性，抽象出相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的方法。例如，幾何中的“點(diǎn)”、“直線(xiàn)”、“平面”等抽象概念，在自然界是不存在的，是人們利用理想化抽象出來(lái)的概念。

2.強(qiáng)抽象與弱抽象

所謂強(qiáng)抽象是指在已知概念中，加強(qiáng)對(duì)某一屬性的限制，抽象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過(guò)擴(kuò)大原概念的內(nèi)涵來(lái)建立新概念的抽象方法。例如，從四邊形概念出發(fā)，從兩組對(duì)邊給予適當(dāng)限制，則得平行四邊形和梯形的概念；若從平行四邊形概念出發(fā)，再對(duì)邊或角分別適當(dāng)限制，得到矩形、菱形及正方形的概念。

所謂弱抽象是指在已知概念中，減弱對(duì)某一屬性的限制，抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新概念的特例的方法。即通過(guò)縮小原概念的內(nèi)涵來(lái)建立新概念的抽象方法。例如，從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲得相似形與等積形的概念，它們分別保留了“形狀相同”及“面積相等”的特性。

3.等價(jià)抽象

在思維中同類(lèi)研究對(duì)象（具體的或抽象的個(gè)體）中抽取出來(lái)而舍棄其他非共同的屬性，這樣的抽象就是等價(jià)抽象。例如，自然數(shù)的概念就是用等置抽象的思想建立起來(lái)的。每個(gè)自然數(shù)實(shí)際上都是一類(lèi)等價(jià)集合的標(biāo)記，它反映這類(lèi)集合中元素的數(shù)目是該類(lèi)集合的類(lèi)的標(biāo)記，它反映這類(lèi)集合中元素的數(shù)目，是該類(lèi)集合的類(lèi)的特征。例如，兩個(gè)三角形，若它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這樣的兩個(gè)三角形具有相同的形象。把三角形的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系以及形象相同的特點(diǎn)抽象出來(lái)，就得到相似三角形的概念。

一般地，等價(jià)抽象具有3個(gè)重要的特性：（1）自反性。（2）對(duì)稱(chēng)性。（3）傳遞性。

4.存在性抽象

這是指在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念，起初往往被認(rèn)為是不存在的，這時(shí)可先用假設(shè)的方法肯定抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念存在性，并由此發(fā)展出一定的數(shù)學(xué)理論，然后在理論和實(shí)踐中加以驗(yàn)證，從而確認(rèn)新的數(shù)學(xué)理論的合理性。例如，自然數(shù)“無(wú)限延伸”以及無(wú)理數(shù)、負(fù)數(shù)、虛數(shù)都是由存在性抽象方法建立起來(lái)的。

數(shù)學(xué)抽象方法在數(shù)學(xué)解題的應(yīng)用十分廣泛，下面僅介紹理想化抽象在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。例如，任選六個(gè)人在一起集合，試證其中要么至少有三個(gè)人彼此不認(rèn)識(shí)，要么至少有三個(gè)人互相認(rèn)識(shí)。思考與分析：此問(wèn)題常稱(chēng)為六人集合問(wèn)題，現(xiàn)用理想化抽象的方法處理。我們把任選的六個(gè)人抽象為平面上任選的六個(gè)點(diǎn)，分別用字母A、B、C、D、E、F、來(lái)表示。如果其中有兩人互相認(rèn)識(shí)，就在代表這兩人的兩點(diǎn)之間連一條紅色線(xiàn)段，否則就邊一條藍(lán)色線(xiàn)段。這樣六點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)都要連線(xiàn)，不是連紅線(xiàn)就是連藍(lán)線(xiàn)。從這六點(diǎn)中任意取一點(diǎn)A，它與其他五點(diǎn)有5條連線(xiàn)（如上圖）。

由于5條線(xiàn)段只有兩種顏色，根據(jù)抽屜原理，其中至少有3條線(xiàn)段是同一顏色的。不妨設(shè)AC、AD、AE是三條藍(lán)色連線(xiàn)，那么CE、CD、DE三條連線(xiàn)中，只要有一條藍(lán)色的，就有一個(gè)三邊是藍(lán)色的三角形，這表明這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)代表的三個(gè)人互相都不認(rèn)識(shí)；如果CE、CD、DE都不是藍(lán)色的，那么△CDE的三邊都是紅色的（圖中用虛線(xiàn)表示），這表明C、D、E三個(gè)人互相認(rèn)識(shí)。如果三條同顏色的線(xiàn)段是紅色的，也可以用同樣的方法證明。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更重要的是要讓學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，以滿(mǎn)足后繼的學(xué)習(xí)需要，最終提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]沈云霞.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)理論與實(shí)踐.高等教育出版社，2002.

[2]羅增儒.數(shù)學(xué)教學(xué)論.陜西師范大學(xué)出版社，2003.

(作者單位：浙江金華市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）