時域有限差分法仿真等離子體

摘要：時域有限差分(FDTD)算法被廣泛地用于模擬電磁場的傳播。給出了電磁波在非磁化等離子體中傳播穩定條件，并給出了非磁化色散等離子體的FDTD方法，同時對結果進行了分析。

關鍵詞：非磁化等離子體；時域有限差分法；電磁波

中圖分類號：O441文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)20-30369-02

Simulation of Plasma with FDTD

HU Lian-sheng

(Tianjin Industry University， Information and Communication Engineering Institute， Tianjin 300160， China)

Abstract: FDTD method is widely used to simulate the spread of electromagnetic fields. The paper Presents conditions of stability in the non-magnetized plasma electromagnetic wave propagation and gives a non-magnetic plasma dispersion of the FDTD method， the results were analyzed.

Key words: non-magnetic plasma; FDTD; electromagnetic waves

1 引言

目前，電磁場的時域計算方法越來越引人注目。時域有限差分(Finite Difference Time Domain，FDTD)法為一種主要的電磁場時域計算方法，是直接求解Maxwell方程的一種時域方法，最早是在1966年由K.S.Yee提出的。這種方法通過將Maxwell旋度方轉化為有限差分式而直接在時域求解，通過建立時間離散的遞進序列，在相互交織的網格空間中交替計算電和磁場。經過三十多年的發展，這種方法已經廣泛應用到各種電磁問題的分析之中。是求解Maxwell微分方程的直接時域算法，在計算中將空間每一個樣本點的電場（或磁場）與周圍格點的磁場（或電場）直接相聯系，且介質參數已賦值給空間每一個元胞，因此這一方法可以處理復雜形狀目標和非均勻介質物體的電磁散射，電磁輻射等問題。同時，FDTD的隨時間推進可以方便的給出電磁場的演化過程，在計算機上以偽彩色方式顯示，這種電磁場可視化結果清楚的顯示了物理過程，便于分析和設計。正是由于時域有限差分法的這些優點，它可以運用于飛行器對雷達波散射的計算。其原理簡單直觀，易于實現，計算程序有很強的通用性，并且特別適合于并行運算。FDTD方法在電磁學的各個領域(如目標特性研究，天線輻射，電磁兼容，微波線路以及生物電磁學等領域)都得了廣泛的應用。隨著無反射截斷問題解決，吸收邊界的進一步完善，遠近場變換技術，共形技術、亞網格技術等的發展，FDTD方法從最初的數值精度、計算效率不夠高，應用范圍不廣，且本身尚有若干重要問題未得到很好解決，發展到目前非常成熟的時域數值方法。

2 時域有限差分法原理及Yee元胞

2.1 時域有限差分法原理

FDTD算法是K.S.Yee于1966年提出的、直接對麥克斯韋方程作差分處理、來解決電磁脈沖在電磁介質中傳播和反射問題的算法。基本思想是：FDTD計算域空間節點采用Yee元胞的方法，同時電場和磁場節點空間與時間上都采用交錯抽樣；把整個計算域劃分成包括散射體的總場區以及只有反射波的散射場區，這兩個區域是以連接邊界相連接，最外邊是采用特殊的吸收邊界，同時在這兩個邊界之間有個輸出邊界，用于近、遠場轉換；在連接邊界上采用連接邊界條件加入入射波，從而使得入射波限制在總場區域；在吸收邊界上采用吸收邊界條件，盡量消除反射波在吸收邊界上的非物理性反射波。 其空間節點采用Yee元胞的方法，電場和磁場節點空間與時間上都采用交錯抽樣，因而使得麥克斯韋旋度方程離散后構成顯式差分方程，相比較與前面的波動方程求解，計算得到大大簡化。由于FDTD采用吸收邊界條件的方法，使得計算可以在有限的空間范圍內進行，這樣就可以降低程序對計算機硬件的要求。

時域有限差分法是對與時間相關的麥克斯韋旋度方程直接求解，它采用中心差分取代電磁場分量的空間和時間微分形式而得到。FDTD是一個時間步進過程，輸人一個時間抽樣的模擬信號，問題空間可以通過兩個相互交替的由離散點組成的網格來建模。麥克斯韋方程反映電磁場的基本規律，為突出關鍵問題，我們把問題盡量簡化。假定將問題限定于各向同性的非磁性線性介質，且介質的性質與時間無關。于是在無源區域內，在介質空間中所發生的電磁過程滿足以下形式的麥克斯韋旋度方程：

一般地講，均勻各向同性媒質中μ和ε是標量常數。對于非均勻各向同性媒質，μ和ε是隨空間位置而變化的標量。對于各向異性媒質，μ和ε是張量，媒質是均勻還是不均勻將取決于μ和ε是否隨位置而變化。從麥克斯韋方程出發建立差分方程的復雜性在于不僅要在時域計算電磁場，即要在包括時間在內的四維空間進行，還要能同時計算電場和磁場的六個分量。在四維空間中合理地離散六個未知場量成為建立具有高精度差分格式的關鍵問題。

作為一種時域電磁場數值計算方法，FDTD方法具有一些很突出的特點，例如：FDTD方法所需的計算機內存和CPU時間與網格單元數成正比，并且不需要矩陣求逆，這明顯優于傳統的矩量法。FDTD在計算過程中，由于目標的電磁參數已經反映在每一網格的電磁場計算中，因此，FDTD方法能很容易地處理復雜介質(包括色散介質和各向異性的色散介質)和復雜形狀目標的電磁問題。此外，FDTD方法作為一種時域方法，結合電磁場的畫面顯示，能充分而形象地描繪電磁波的傳播過程和電磁場與目標的相互作用過程，給復雜的電磁過程畫出一個清晰的物理圖象。在脈沖波(如高斯脈沖)的激勵下，FDTD方法的一次計算結果，結合傅立葉(Fourier)變換后便可獲得豐富的頻域信息。同頻域方法相比這將節省大量的計算時間。需要指出的是，隨著計算機價格的下降，性能的上升，使得FDTD方法更具有吸引力，應用范圍也越來越廣。近十幾年來，每年發表的論文按指數規律增長。特別是近年來，對解決電大尺寸的物體的電磁計算有了長足的發展，還出現了多種方法，其中包括Krumpholz和Katehi¨提出的多分辨率時域方法(MRTD)，Liu提出的時域偽譜方法(PSTD)，Kondylis等人提出的節省內存時域有限差分法(R—FDTD)等。他們都從不同角度較好地解決了電大尺寸目標的電磁仿真問題。隨著FDTD方法不斷增多，這個電磁領域最常用的技術也越來越成熟起來。

2.2 Yee元胞

時域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空間、時間上離散化，用差分方程代替一階偏微分方程，求解差分方程組，從而得出各網格單元的場值。FDTD空間網格單元上電場和磁場各分量的分布如圖1所示。電場和磁場被交叉放置，電場分量位于網格單元每條棱的中心，磁場分量位于網格單元每個面的中心，每個磁場(電場)分量都有4個電場(磁場)分量環繞。這樣不僅保證了介質分界面上切向場分量的連續性條件得到自然滿足，而且還允許旋度方程在空間上進行中心差分運算，同時也滿足了法拉第電磁感應定律和安培環路積分定律，也可以很恰當地模擬電磁波的實際傳播過程。

在FDTD離散中電場和磁場各節點的三維空間排列如圖1所示，每一個磁場分量由電場分量環繞，同樣，每一個電場分量由磁場分量環繞。這種電磁場分量的空間取樣方式不僅符合法拉第感應定律和安培環路定律的自結構，而且這種電磁場各分量的空間相對位置也適合于麥克斯韋方程的差分運算，夠恰當地描述電磁場的傳播性質。另外，電場和磁場在時間上交替抽樣，抽樣時間此相差半個時間步，使麥克斯韋方程旋度方程離散以后構成顯式差分方程，從而可在時間上迭代求解，而不需要矩陣求逆運算。

2.3 吸收邊界條件

在對FDTD的算法研究中，吸收邊界條件(Absorbing Boundary Conditions，ABCs)是一項非常重要的研究內容，通常被用于電磁波問題計算，以較小計算代價來模擬無限空間系統。吸收邊界條件的加入，使得開域問題的電磁場散射問題的計算可以在設定的閉域計算空間內完成，這無疑可以大大的節省計算量。吸收邊界條件從簡單的插值邊界，已經發展了多種吸收邊界條件。目前廣泛采用的有Mur吸收邊界、完全匹配層(PML)吸收邊界。本文主要介紹二維Berenger完全匹配層(PML)以及各項異性完全匹配層(UPML)。

3 非磁化等離子體FDTD算法的穩定條件

等離子體是物質三種形態（固態、液態、氣態）之后的第四種物質形態，其廣泛存在于自然界中。當任何不帶電的普通氣體在受到外界的高能激勵作用（如對氣體施加高能粒子轟擊、激光照射、氣體放電、熱致電離等方法）后，部分原子中的電子脫離原子核束縛成為自由電子，原子因失去電子而成為帶正電的離子，這樣原來中性氣體就因電離而轉變成由大量自由電子，正電離子和部分中性原子組成的宏觀仍呈電中性的電離氣體，這類氣體稱為等離子體。其運動主要受電磁力的支配。盡管等離子體在整體上呈電中性，卻具有了很好的導電性，普通氣體中如有0.1%的氣體被電離，這種氣體就具有很好的等離子體特性，如果電離氣體增加到1%，這樣的等離子體便成為導電率很大的理想導電體。

式中kx、ky、kz分別為直角坐標中波矢量k的分量， Δx、Δy、Δz分別是z方向的網格長度，h是時間步長。

4 各向同性非磁化等離子體FDTD算法

假設等離子體為不均勻的、各向同性的、碰撞等離子體，并取等離子體的介質模型。等離子體中的離子因其大的質量而忽略其運動。等離子體中電磁波滿足的Maxwell旋度方程組由下式給出

另一種非磁化等離子體的描述方法是采用感應電流密度的輔助方程，在等離子體內，電磁波要引起帶電粒子的運動，帶電粒子的運動又要產生電磁波。這種電磁波與等離子體的相互作用和相互影響形成了等離子體內電磁波的特色。等離子體作為一種介質，在場的作用下，其中會出現感應電流，它們之間滿足麥克斯韋方程組。

5 結論

以上用FDTD對等離子體進行了仿真分析，所編程序簡潔明了，運行效率也較高。FDTD法在電磁場數值分析方面有很大的優越性，可以快速地編出高效高質量的程序，可以將算法迅速程序化，并獲得很好的數據處理結果，使研究者可以集中精力在FDTD方法和研究對象本身上，而只需花費少量的時間在程序的實現上。

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