時(shí)域有限差分中各向異性完全匹配層的實(shí)現(xiàn)方法

摘要：本文討論了如何在給定邊界層數(shù)的條件下，通過調(diào)整各介質(zhì)層吸收層的介質(zhì)參數(shù)來實(shí)現(xiàn)入射波的最佳吸收，并利用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)算法中的邊界參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：時(shí)域有限差分算法；各向異性；完全匹配層

中圖分類號(hào)：O441文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-3044(2008)20-30234-03

The Implementation Methods of PML in the Finite Difference Time Domain

SUN Yun-he， LI Jian-xiong

(Tianjin Industry University， Information and Communication Engineering Institute， Tianjin 300160， China)

Abstract: This article discusses how a given number of boundary conditions， by adjusting the dielectric layer absorption of the medium parameters to achieve the best incident wave absorption and use of adaptive algorithms in the genetic algorithm to optimize the parameters of the border.

Key words: FDTD method; anisotropy; PML

1 引言

時(shí)域有限差分算法(FDTD)是一種近年來應(yīng)用最廣泛、發(fā)展最迅速的電磁場(chǎng)仿真算法，用該算法計(jì)算電磁場(chǎng)散射問題時(shí)需要設(shè)置吸收邊界條件來模擬無限空間中的電波傳播。時(shí)域有限差分(FDTD)方法已逐漸成為解決電磁散射和電磁波傳輸?shù)葐栴}的有力工具。研究FDTD方法的核心問題是尋求一種理想的吸收邊界，使截?cái)嗝娣瓷渥钚　?/p>

各向異性介質(zhì)在微波元件、微帶電路中得到廣泛的應(yīng)用，特別是隨著微波與毫米波集成技術(shù)的發(fā)展，集成電路由混合集成發(fā)展為單片集成，各向異性的介質(zhì)基片得到越來越廣泛的應(yīng)用。若在電路特性參數(shù)的分析中，忽略介質(zhì)基片的各向異性而作為各向同性介質(zhì)處理，隨著頻率的升高，將產(chǎn)生較大的誤差。因此，分析各向異性介質(zhì)問題的數(shù)值方法得到人們的重視。完全匹配層PML吸收邊界是目前最常用、邊界處理比較方便且吸收效果比較理想的一種吸收邊界條件。與傳統(tǒng)的Mur二階近似吸收邊界條件相比，PML吸收邊界條件可提高精度40dB左右。完全匹配層參數(shù)的設(shè)置合適與否直接影響電磁場(chǎng)模擬仿真的精度，為了提高介質(zhì)層吸收效果，一般采用增加吸收層的物理厚度。由于吸收層位于網(wǎng)格最外層，因此每增加一層都會(huì)增加計(jì)算機(jī)的內(nèi)存需求和計(jì)算時(shí)間。

吸收邊界的處理是FDTD算法的一個(gè)關(guān)鍵問題，吸收邊界條件的效果直接關(guān)系到FDTD計(jì)算的正確性和精確度，是影響FDTD計(jì)算品質(zhì)的決定因素。J.P.Berenger于1994年首先提出了理想匹配層(PML)吸收邊界條件的概念。1996年，S.D.Gedney提出了各向異性介質(zhì)PML理論并用于FDTD區(qū)域的吸收邊界。與傳統(tǒng)的Mur二階近似吸收邊界條件相比[7]，PML吸收邊界條件可提高精度40dB左右，是目前最好的吸收邊界條件。PML吸收邊界條件是針對(duì)矢量FDTD算法提出的，并不能直接用于標(biāo)量的WE-FDTD算法。最近，M.A.Alsunaidi導(dǎo)出了PML媒質(zhì)中波動(dòng)方程的表達(dá)式，但它忽略了電導(dǎo)率是空間坐標(biāo)的函數(shù)。D.Zhou基于伸張坐標(biāo)系下的標(biāo)量波動(dòng)方程導(dǎo)出了一維PML的差分格式，并用于光器件的仿真中，獲得了非常好的結(jié)果。本文實(shí)現(xiàn)了波動(dòng)方程FDTD算法的PML吸收邊界條件(WE-PML)，并利用二維空間中的TM波進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證，同時(shí)對(duì)PML媒質(zhì)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化和分析。

2 WE-PML吸收邊界條件

PML邊界是在FDTD區(qū)域邊界處設(shè)置一種特殊介質(zhì)層，該介質(zhì)層的波阻抗與相鄰真空的波阻抗完全匹配，即在連續(xù)和離散情況下都滿足阻抗匹配條件。理論上希望垂直入射時(shí)入射波能無反射地進(jìn)入PML區(qū)域，即反射系數(shù)為零。但PML區(qū)域不可能是無限大，因此在區(qū)域外圍要用截?cái)噙吔纾ǚ瓷湎禂?shù)為——1）或其他吸收邊界。Berenger通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，真空一PML交界面電導(dǎo)率的突變是導(dǎo)致較大數(shù)值反射的主要原因。因此，良好PML參數(shù)設(shè)置的目的是：①盡量用少量的吸收網(wǎng)格使計(jì)算區(qū)域中入射波能無反射地進(jìn)入PML區(qū)域；②盡量減少吸收網(wǎng)格之間的電導(dǎo)率變化速率；③盡量減少到達(dá)截?cái)噙吔绲娜肷洳◤?qiáng)度。入射波在PML區(qū)域中的衰減速率和電導(dǎo)率有關(guān)，電導(dǎo)率越大衰減速率就越大。如果電導(dǎo)率變化較大，則應(yīng)當(dāng)在PML層中對(duì)時(shí)間使用指數(shù)差分J，否則由于邊界介質(zhì)中電磁場(chǎng)衰減很快，Yee差分格式會(huì)產(chǎn)生較大反射誤差使吸收效率降低。在三維PML介質(zhì)中，每個(gè)場(chǎng)分量分解為兩個(gè)子分量，通常旋度方程中的6個(gè)場(chǎng)分量在PML介質(zhì)中共分解為l2個(gè)子分量。

在拉伸坐標(biāo)系中，自由空間頻域maxwell方程可修正為

其中，θ是相對(duì)于介質(zhì)邊界面定義的入射角度， σ是吸收邊界厚度，c是光速，ε0是自由空間介電常數(shù)，σ(r)為吸收邊界的電導(dǎo)率參數(shù)。一般取R(θ)等于10-5，定出各層的σ值。一般應(yīng)用時(shí)取邊界電導(dǎo)率各層參數(shù)之間隨邊界層數(shù)的不同成指數(shù)關(guān)系：

σmax是邊界最大電導(dǎo)率，r是到邊界的距離，n是電導(dǎo)率變化指數(shù)。實(shí)踐證明，n的取值和邊界層數(shù)的設(shè)定有關(guān)。下文將通過遺傳算法得到邊界層數(shù)增大，最優(yōu)凡取值將增大的結(jié)論。反射誤差僅與吸收邊界層的實(shí)際厚度有關(guān)，在邊界層參數(shù)設(shè)置合理時(shí)，隨著吸收的邊界層實(shí)際厚度增大，反射誤差會(huì)變小。這就意味著隨著計(jì)算頻率的升高（每層的電尺寸不變），在同樣反射誤差的條件下，需要增加吸收層的層數(shù)。對(duì)于一個(gè)天線，需要通過饋人一個(gè)寬頻時(shí)域脈沖來計(jì)算其工作帶寬，此時(shí)若要求設(shè)置的吸收邊界層滿足可以吸收最大頻率的入射波，則需要設(shè)置的層數(shù)將會(huì)很大。若設(shè)置的層數(shù)較少則反射誤差將影響仿真天線的計(jì)算精度。同樣，對(duì)于一個(gè)窄頻段的饋源，根據(jù)公式計(jì)算得到的邊界參數(shù)并不能達(dá)到最優(yōu)的吸收效果。理論和實(shí)踐都表明，當(dāng)邊界吸收層設(shè)置于天線近區(qū)凋落場(chǎng)以外時(shí)，吸收層的吸收效果和實(shí)際計(jì)算區(qū)域的大小無關(guān)。如果邊界吸收層設(shè)置于天線近區(qū)凋落場(chǎng)中，則計(jì)算無意義（吸收層是根據(jù)遠(yuǎn)區(qū)入射吸收效果設(shè)置的）。因此，通過遺傳算法在較小的滿足非凋落場(chǎng)計(jì)算的區(qū)域中對(duì)于一定饋源進(jìn)行邊界參數(shù)的優(yōu)化，再將優(yōu)化結(jié)果應(yīng)用到該饋源激勵(lì)的較大區(qū)域的天線仿真中，將大大降低邊界反射造成的計(jì)算結(jié)果的偏差。

3 自適應(yīng)遺傳算法的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

將正旋激勵(lì)源加在網(wǎng)格正中，使上述電場(chǎng)模板計(jì)算到1000個(gè)時(shí)間步，中間（包括源）40X40X40的網(wǎng)格數(shù)據(jù)存入文件以備遺傳算法調(diào)用。同時(shí)在1000～3900時(shí)間步間每100個(gè)時(shí)間步保存一次電場(chǎng)計(jì)算結(jié)果，以備與模板值比較。根據(jù)常用的FDTD的層數(shù)設(shè)置，將層數(shù)設(shè)置在8～10層。考慮到避免源近區(qū)凋落模式對(duì)于吸收效果的影響，因此選擇待優(yōu)化的FDTD計(jì)算空間為（40+2XPML邊界層數(shù)）。對(duì)于種群中每個(gè)染色體進(jìn)行譯碼后代入FDTD中迭代，將迭代結(jié)果和模板結(jié)果比較，返回殘差平方和的倒數(shù)。將整個(gè)種群的計(jì)算結(jié)果保存，并和上一代種群的計(jì)算結(jié)果比較。進(jìn)行精英選擇產(chǎn)生下一代種群，同時(shí)根據(jù)種群中適應(yīng)度分布確定交叉概率、變異概率。當(dāng)遺傳到初始設(shè)定的代數(shù)或保持較大交叉概率、變異概率達(dá)30代以上時(shí)，則退出遺傳，得出優(yōu)化結(jié)果。遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果極有可能是最優(yōu)解附近的解，同時(shí)對(duì)于多參數(shù)編碼，由于編碼的精度不高，可能使計(jì)算結(jié)果不是最優(yōu)，所以應(yīng)該再加上一步優(yōu)化。遺傳算法的結(jié)果再進(jìn)行最大梯度下降優(yōu)化能夠達(dá)到極高精度的最優(yōu)解。優(yōu)化參數(shù)的適應(yīng)度是在FDTD算法計(jì)算到1000個(gè)時(shí)間步時(shí)統(tǒng)計(jì)的，雖然已經(jīng)電磁穩(wěn)定，但也不能排除優(yōu)化結(jié)果在更多的時(shí)間步內(nèi)保持最優(yōu)，因此有必要比較更多時(shí)間步上優(yōu)化的效果。

4 數(shù)值驗(yàn)證

使用高速計(jì)算機(jī)窮舉不同邊界電導(dǎo)率，不同電導(dǎo)率變化指數(shù)情況下，1000個(gè)時(shí)間步以后，全局誤差對(duì)于特定的問題，邊界參數(shù)的取值可以使全局誤差減少，但不可能對(duì)于每個(gè)計(jì)算環(huán)境邊界都使用計(jì)算機(jī)精確窮舉。因此有必要使用遺傳算法。電導(dǎo)率變化指數(shù)一定時(shí)，根據(jù)遺傳算法對(duì)優(yōu)化邊界一尋找最小全局誤差。9層邊界經(jīng)典最大邊界參數(shù)根據(jù)反射系數(shù)計(jì)算得到σmax=0.000334，優(yōu)化結(jié)果為σmax=0.00019，可以得到將近2.5倍的優(yōu)化效果。電導(dǎo)率變化不確定，根據(jù)遺傳算法對(duì)PML邊界電導(dǎo)率指數(shù)優(yōu)化，尋找最小全局誤差。若在9層邊界條件下，確定最大邊界電導(dǎo)率參數(shù)σmax=0.000334，優(yōu)化電導(dǎo)率變化指數(shù)n，邊界電導(dǎo)率按2.3次方變化時(shí)得到最優(yōu)的吸收效果.改變所取邊界層數(shù)，優(yōu)化邊界參數(shù)變化指數(shù)。隨著所選吸收層數(shù)的增加，邊界參數(shù)在各層中的變化率將減小。電導(dǎo)率變化不確定，邊界層數(shù)不斷變化時(shí)，每層最優(yōu)值：將吸收邊界每層導(dǎo)電率進(jìn)行染色體編碼。最優(yōu)解比經(jīng)典取值優(yōu)化5倍以上。可見使用遺傳算法對(duì)吸收邊界參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，可以在較短的計(jì)算時(shí)間里找到接近最優(yōu)吸收效果的邊界參數(shù)。同時(shí)，這些計(jì)算參數(shù)比公式選取參數(shù)在長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間內(nèi)吸收效果穩(wěn)定，電磁場(chǎng)仿真在相同計(jì)算內(nèi)存和計(jì)算量條件下精度更高。

5 結(jié)論

本文實(shí)現(xiàn)了波動(dòng)方程的PML吸收邊界條件，并進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證。從結(jié)果可以看出，WE-PML的性能與Berenger-PML非常接近。同時(shí)，對(duì)PML媒質(zhì)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。結(jié)果表明，WE-PML的性能主要是由PML的層數(shù)、垂直入射時(shí)的理論反射系數(shù)決定的，WE-PML參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果與Gedney-PML的經(jīng)驗(yàn)值基本一致。PML吸收邊界條件的實(shí)現(xiàn)對(duì)于提高WE-FDTD算法的計(jì)算精度和效率具有十分重要的意義。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”