非重復初始化水平集方法的圖像輪廓檢測

摘要：水平集方法(Level Set Method)是一種用于計算曲線演化位置的有效方法。該文針對傳統Level Set Method進行圖像檢測中需要重復初始化水平集函數的缺點，研究了不需要重復設置水平集函數的圖像檢測方法.實驗表明，該方法能更好的檢測多目標圖像輪廓。

關鍵詞：水平集方法；非重復初始化；輪廓檢測

中圖分類號：TP391文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)31-0944-03

Image Contour Detectingwithout Re-initialization Level Set Method

ZANG Shun-quan1，2， WANG Zhu-xia3

(1.School of Science， Xidian University， Xi'an 710071; China; 2.Department of applied mathematics and physics， Xi'an Institute of Post and Telecommunications， Xi'an 710061， China; 3.Department of Telecommunication Engineening，Xi'an Institute of Post and Telecommunications， Xi'an 710061，China)

Abstract: Level set method is numerical techniques for computing the position of propagating fronts. Image contour detecting by traditional level set methods Needs to re-initializing the level set function.Then， Without Re-initialization Level Set Method is discussed is proposed.The experimental results show that it can accurate converge to contour ofMulti-objectives image.

Key words: Level Set Method; Without Re-initialization; Contour Detecting

1 引言

邊緣是圖像最基本的特征，是區域性質發生突變的地方，包含著豐富的特征信息.圖像輪廓提取對圖像理解、圖像分析、計算機視覺等具有非常重要的意義。

水平集方法是Osher 和 Sethian在1988年提出的，該方法現在已經廣泛應用于圖像恢復、圖像增強、圖像分割、物體跟蹤、形狀檢測與識別等諸多領域。水平集方法的基本思想是將平面閉合曲線隱含地表達為二維曲面函數的水平集，即具有相同函數值的點集。將對二維平面里界面運動的研究轉化為三位空間中二維曲面運動的討論。

隨著水平集方法的提出，幾何活動輪廓模型與水平集方法相結合的曲線演化方法是目前廣為關注的一種圖像分割方法。該方法利用輪廓曲線的幾何特性，建立輪廓曲線運動的能量函數，最小化這個能量函數使輪廓曲線逐漸逼近圖像中目標邊緣，并利用水平集函數將輪廓曲線運動方程轉化成求解偏微分方程問題。傳統的基于水平集方法的幾何主動輪廓模型在進行圖像輪廓檢測中具有需要重復初始化水平集函數的缺點，本文針對該缺點研究了不需要重復設置水平集函數的圖像輪廓檢測方法。

2 水平集方法—Level Set Method

水平集方法的引入是先給定一封閉的初始輪廓，該初始輪廓不斷沿其法線方向向外或向內以一定的速度演化，得到曲線（曲面）族。給定平面上的一條封閉曲線Cn(p)，以曲線為邊界，把整個平面劃分為兩個區域：曲線的外部區域和內部區域。C(p，t)是沿著矢量場的法線方向進行傳播的初始化曲線，速度依賴于邊界曲率k。在平面上定義一個距離函數φ(x，y，t) =±d，其中d是點(x，y)到曲線的最短距離，函數的符號取決于該點在曲線的內部還是外部，一般定義在曲線內部點的距離為負值；t表示時間。這樣，在任意時刻曲線上的點就是距離函數值為0的點（即距離函數的Zero Level Set）。圖1是平面上一個圓的Level Set 函數。

由于運動的速度是曲線曲率k的矢量函數：

■（1）

令φ(x，y，t)：R2×[0，T )->R表示曲線C(p，t)，那么根據水平集方法，C(p，t)在時間t由φ的零水平集點所組成：

■（2）

則有： ■（3）

法向量■，由（1）和（3）得到φ的水平集演化方程：

■（4）

在傳統的基于水平集方法的幾何主動輪廓模型在進行圖像輪廓檢測， φ在進化中易產生振蕩、銳利等現象，且有計算量大、結果不準確等問題。為了避免這些問題，通常的計算方案是在φ演化前用符號距離函數對其進行初始化（或更新）。然而由于初始化過程非常關鍵復雜且不可避免，極大影響了該方法在實際中的應用。為了克服這些問題，下文提出非初始化的水平集曲線演化方法。

2 非初始化Level Set Method

在圖像分割中，主動輪廓模型通過初始曲線的動態演化逼近目標邊緣，因此可以定義圖像外部能量使其零水平集向目標邊緣逼近。

對圖像I，定義邊緣指示函數：

■ （5）

內部能量定義為：

■ （6）

外部能量定義為：

■ （7）

其中λ>0，v為常數，且

■（8）

■（9）

其中δ為Dirac函數，H為Heaviside函數。

因此圖像總能量為

■（10）

當內部能量μP(φ)隨著符號距離函數φ演化時，外部能量εg，λ，v(φ)使其向零水平集。

由變分法知識，則有

■（11）

而能量泛函ε取得極小值得必要條件是滿足Euler-Lagrange方程，即■

進一步有最速下降法得到梯度流方程為

■ （12）

可以看出梯度流是水平集函數的演化方程。上式右邊第2，3項分別對應λLg(φ)和vAg(φ)，反映出零水平曲線向目標邊緣逼近。在第1項內部能量μP(φ)中，梯度流為

■ （13）

其中 ■為擴散速度。如果■，該項為正擴散；如果■，該項為反擴散。

3 方法實現及實驗結果分析

3.1 方法實現

對（12）進行數值實現，采取有限差分方法進行離散。具體是：對■采取中心查分，對■采取向前差分。因此（12）的離散格式可簡單表示為

■ （14）

由C.F.L準則，為保證格式收斂，則τμ≤1/4。

3.2 實驗結果與分析

圖2a所示為一幅三目標原始圖像，圖2b為傳統水平集方法初始化曲線，圖2c為傳統方法檢測結果，圖2d為本文方法迭代200次檢測結果。

從圖2a，圖2b可以看出，傳統的水平集方法對初始曲線設置要求很苛刻，本實驗設置的初始曲線得到的檢測結果與想要結果相差甚遠。圖2d為非初始化Level Set Method檢測得到的結果，可以看出該方法得到了較好的檢測結果。

參考文獻：

[1] 楊新，李俊.圖像偏微分方程的原理與應用[M].上海：上海交通大學出版社，2003.

[2] Sethian A.Level set methods and fast marching methods[M]，Cambridge: Cambridge University Press，1999.

[3] LI Chun-ming， XU Chen-yang， GUI Chang-feng.et al.Level set evolution without re-initialization: a new variational formulation[J].Computer Vision and Pattern Recognition，2005，1(20):430-436.

[4] 李曉偉.基于水平集方法的圖像分割[D].西安理工大學，2007.