一堂數(shù)學(xué)“回爐課”

一、提出問題

在上學(xué)期的市統(tǒng)測題中，高二文科數(shù)學(xué)的最后一道題為：已知數(shù)集序列{1}，{３，５}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n個(gè)集合有n個(gè)元素，每一個(gè)集合都是由連續(xù)正奇數(shù)組成，并且每一個(gè)集合中的最大數(shù)與后一個(gè)集合中的最小數(shù)是連續(xù)奇數(shù).（1）求數(shù)集序列第n個(gè)集合中最大數(shù)an的表達(dá)式；（2）設(shè)數(shù)集序列第n個(gè)集合中各數(shù)之和為Tn.①求Tn的表達(dá)式；②令f（n）＝（n∈Ｎ?鄢），求證：當(dāng)n≥1，n∈Ｎ?鄢時(shí)，總有f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜.

這是一道數(shù)列與不等式的綜合題，學(xué)生反映最后一問證明不等式較難.考完試恰好又是數(shù)學(xué)課，學(xué)生都催促我講解最后一問，由于下午才進(jìn)行集中評(píng)卷，我也不知道學(xué)生解題的具體狀況，便用慣用的解法向?qū)W生講解.

證明：（2）前面已求得 （1）an=n2+n-1；（2）①Tn=n3.

于是f（n）=，當(dāng)n≥2時(shí)，

=＜＝＝［－］，所以

＋ ＋＋…＋＜{（－）＋（－）＋…＋［－］}＜［－］＜.

∴＋＋＋＋…＋＜１＋＝，得證.

講解時(shí)我注意特別強(qiáng)調(diào)：＜＝［－］與＜＝－類比是獲得解題思路的關(guān)鍵.但評(píng)講完后，學(xué)生仍覺得很難類比想到這種放縮結(jié)構(gòu)，望著學(xué)生疑惑的眼神，我深知有必要對(duì)此題的評(píng)講進(jìn)行“回爐”.

二、課堂實(shí)錄

下午集中評(píng)卷，我自告奮勇要求評(píng)審此題，情況大出我意料之外，真正用我講的方法解題的全級(jí)僅有8人，許多學(xué)生沒有證明出題目本身的的結(jié)論，而是證出了其它結(jié)論，現(xiàn)摘錄如下.

【結(jié)論1】 n≥1，n∈Ｎ?鄢時(shí)，總有＋＋＋＋…＋＜２.

證明：當(dāng)n≥２時(shí)，＜＜=-，

∴＋＋＋＋…＋＜＋（－）＋（－）＋（－）＋…＋ （－）

∴＋＋＋＋…＋＜２－＜２，得證（證明出此結(jié)論的學(xué)生最多）.

【結(jié)論2】 n≥１，n∈Ｎ?鄢時(shí)，總有＋＋＋＋…＋＜.

證明：當(dāng)n≥２時(shí)，＜＜＝＝（－），

∴左邊＜＋［（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＋（－）］

∴＋＋＋＋…＋＜１＋（１＋－－）＜，得證.

【結(jié)論3】 n≥１，n∈Ｎ?鄢時(shí)，總有＋＋＋＋…＋＜.

證明：當(dāng)n≥２時(shí)，有

n２－（n＋１）＝（n－）２－≥（２－）２－＝１＞０，∴n２＞n＋１，

∴＜＝－

∴＋＋＋＋…＋＜＋（－）＋（－）＋（－）＋…（－）

∴＋＋＋＋…＋＜１＋－＜，得證.

第二天上課，我把以上證法呈現(xiàn)在黑板上，肯定其中的合理成分，同時(shí)指出：由于２＞，＞，＞，所以這些證明是徒勞無功的，只能給零分，學(xué)生都紛紛扼腕嘆息！

正想轉(zhuǎn)入其它題目的講解時(shí)，突然有個(gè)學(xué)生甲舉手說：“老師，我有發(fā)現(xiàn)！”語言中透著興奮，“我發(fā)現(xiàn)２＝，，＝，的分母都是4，分子不斷遞減，再往后不就是考題中的嗎？這說明可利用他們的方法證這道題！”

接著學(xué)生乙也興奮地站起來說：“老師，我也有新發(fā)現(xiàn)！”我示意他接著說，“我發(fā)現(xiàn)２＝，的分子、分母均不斷遞增，再往后就是，，，，等，這也說明可利用他們的方法證這道題！估計(jì)還有許多命題可證明，如：＋＋＋＋…＋＜，＋＋＋＋…＋＜，等等！”

頓時(shí)，教室里群情激昂，議論紛紛，課堂出現(xiàn)了“意外”，我于是迅速表揚(yáng)這兩位學(xué)生的探索精神，肯定了他們的發(fā)現(xiàn)，并要求學(xué)生們進(jìn)行討論.

馬上有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：＋＋＋＋…＋＝１.200222＞，而＞＞＞…，=1+隨著的增大逐漸減小，所以能證明的命題只有：＋＋＋＋…＋＜

和考題本身，怎樣證明呢？

教室里一片沉靜！突然，學(xué)生丙走到講臺(tái)，在黑板上寫出自己的證明過程：當(dāng)n≥２時(shí)，有n３-3n（n-1）=n［（n-）2+］＞0，∴n３＞3n（n-1），∴＜=（-），于是 ＋＋＋＋…＋＜+［（1-）+（-）+（-）+…＋（-）］

∴ ＋＋＋＋…＋＜1+（1-）＜，得證.

“你是怎樣想到這個(gè)方法的？”我問，學(xué)生丙說：“因?yàn)?1+，而我對(duì)=-又非常熟悉，所以才想到這個(gè)解法.”

“說得好，任何解題思路都源于對(duì)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)分析和解題經(jīng)驗(yàn)，那么考題能否用此法證明呢？”我充分肯定學(xué)生丙對(duì)解題思路的分析，并對(duì)全體學(xué)生提出了新要求.

很快幾位基礎(chǔ)中等的學(xué)生舉了手，我讓學(xué)生丁走上講臺(tái)，在黑板上寫出對(duì)考題的證明過程：

當(dāng)n≥２時(shí)，有n３-4n（n-1）=n（n-2）2≥0，∴ n３≥4n（n-1），

∴ ≤=（-），于是 ＋＋＋＋…＋≤+［（1-）+（-）+（-）＋…＋（-）］

∴＋＋＋＋…＋≤1+（1-）＜，得證.

望著黑板上整齊的書寫和興奮的學(xué)生，我非常高興，學(xué)生對(duì)這一道考題有了更深刻的認(rèn)識(shí).

三、教學(xué)思考

1. 要勇于上“回爐課”

“回爐課”的實(shí)質(zhì)是教師對(duì)自己的課堂教學(xué)效果的反思.由于種種原因，教師對(duì)學(xué)生在某些方面的預(yù)想與學(xué)生真實(shí)的知識(shí)層次存在一定的差距，往往會(huì)造成課堂效果的弱化，這時(shí)上“回爐”課就顯得非常有必要.筆者對(duì)這道市統(tǒng)測題的講評(píng)進(jìn)行了兩次，第一次給出的解法雖然較簡潔，在講解中也強(qiáng)調(diào)了＜＝［-］與＜=-等的類比，但由于該方法與學(xué)生的解題思想存在一定的差距，很難引起學(xué)生的共鳴；了解了學(xué)生在考試中的解法后，筆者又安排了第二講評(píng)，由于落腳點(diǎn)在學(xué)生的知識(shí)、方法的“近發(fā)區(qū)”，很快引起了學(xué)生的積極參與，學(xué)生的主體性、主動(dòng)性得到了充分體現(xiàn).

2. 把握時(shí)機(jī)，及時(shí)調(diào)整

對(duì)每一堂課，教師們都有自己完成教學(xué)任務(wù)的目標(biāo)和計(jì)劃，但課堂上常常也會(huì)出現(xiàn)“有益的意外”.對(duì)這些“有益的意外”的重視和有效的處理，既能體現(xiàn)教師對(duì)學(xué)生真正的人文關(guān)懷，又能產(chǎn)生心理學(xué)中所說的“同體觀”效應(yīng)，即自己人效應(yīng)，從而獲得良好的教學(xué)效果.在講解本題的第二次的“回爐課”中，學(xué)生甲乙的“重大發(fā)現(xiàn)”無疑是一個(gè)非常“有益的意外”，如果教師置這種“有益的意外”于不顧，按自己的原計(jì)劃講評(píng)其它試題，則無疑喪失了一次解決問題的絕好機(jī)會(huì).對(duì)學(xué)生提出的自己預(yù)設(shè)教案未考慮到的“有益的意外”，我們不能避開，而應(yīng)給予充分肯定，進(jìn)而改變?cè)鹊脑O(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)入對(duì)學(xué)生提出問題的討論，尊重并鼓勵(lì)學(xué)生，提高學(xué)生的思維品質(zhì).

責(zé)任編輯羅峰

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文