運用等效法巧解帶電粒子在勻強電場中的運動

等效法是把復雜的物理現象、物理過程轉化為簡單的物理現象、物理過程來研究和處理的一種科學思想方法。它是物理學研究的一種重要方法。在中學物理中，合力與分力、合運動與分運動、總電阻與分電阻、平均值、有效值等，都是根據等效概念引入的。常見的等效法有“分解”、“合成”、等效類比、等效替換、等效變換、等效簡化等，從而化繁為簡、化難為易。勻強電場有許多性質與重力場非常相似，所以在有些電場問題解題的過程中，可以將電場與重力場加以比較，將勻強電場等效類比為重力場中熟悉的模型問題。按照重力場中物體的運動特點去研究問題，可以使學生對物理問題的分析和解答變得簡捷，而且對靈活運用知識，促使知識、技能和能力的遷移，都會有很大的幫助。筆者整理了帶電粒子在勻強電場中運動的一部分熟悉的模型的問題，應用等效法來解決。

1 “最低點”類問題

例1 如圖1所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強電場中，勻強電場與圓周在同一平面內。現在該平面內，將一帶正電的粒子從a點以相同的動能拋出，拋出方向不同時，粒子會經過圓周上不同的點，在這些所有的點中，到達c點時粒子的動能最大。已知∠cab=30°，若不計重力和空氣阻力，試求：電場方向與ac間的夾角θ。

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運動特點 小球只受恒定電場力作用下的運動

對應聯想 重力場中存在的類似的問題，如圖2所示，在豎直平面內，從圓周的d點以相同的動能拋出小球，拋出方向不同時，小球會經過圓周上不同的點，在這些所有的點中，可知到達圓周最低點e時小球的動能最大，且“最低點”e的特點：重力方向上過圓心的直徑上的點。

等效分析 重力場的問題中，存在一個“最低點”對應的速度最大。同理恒定電場中也是對應的“最低點”時速度最大，且“最低點”就是c點。

規律應用 電場力方向即為如圖3所示過圓心作一條過c點的直徑方向，由于粒子帶正電，電場方向應為斜向上，可得θ=30°。

2 單擺類問題

例2 如圖4所示，一條長為L的細線上端固定在Ｏ點，下端系一個質量為m的小球，將它置于一個很大的勻強電場中，電場強度為Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ點時平衡，細線與豎直線的夾角為α。求：當懸線與豎直線的夾角為多大時，才能使小球由靜止釋放后，細線到豎直位置時，小球速度恰好為零？

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運動特點 小球在受重力、電場力兩個恒力與不做功的細線拉力作用下的運動。

對應聯想 在重力場只受重力與細線拉力作用下的運動的模型：單擺模型。

等效分析 對小球在B點時所受恒力分析（如圖5），將重力與電場力等效為一個恒力，將其稱為等效重力可得：mg′=mgcosα，小球就做只受“重力”mg′與繩拉力運動，可等效為單擺運動。

規律應用 如圖6所示，根據單擺對稱運動規律可得，B點為振動的平衡位置，豎直位置對應小球速度為零是最大位移處，另一最大位移在小球釋放位置，根據振動對稱性即可得出，當懸線與豎直線的夾角滿足β=2α，小球從這一位置靜止釋放后至細線到豎直位置時，小球速度恰好為零。

3 過山車類問題

例3 如圖7所示，絕緣光滑軌道AB部分為傾角為30°的斜面，AC部分為豎直平面上半徑為R的圓軌道，斜面與圓軌道相切。整個裝置處于場強為E、方向水平向右的勻強電場中。現有一質量為m的帶正電，電量為q=3mg3E小球，要使小球能安全通過圓軌道，在O點的初速度應為多大？

運動特點 小球先在斜面上運動，受重力、電場力、支持力，然后在圓軌道上運動，受到重力、電場力，軌道作用力，且要求能安全通過圓軌道。

對應聯想 在重力場中，小球先在水平面上運動，重力不作功，后在圓軌道上運動的模型：過山車。

等效分析 如圖8所示，對小球受電場力和重力，將電場力與重力合成視為等效重力mg′，大小mg′=(qE)2+(mg)2=23mg3，tanθ=qEmg=33 ，得θ=30°，于是等效重力方向為垂直斜面向下，得到小球在斜面上運動，等效重力不做功，小球運動可類比為重力場中過山車模型。

規律應用 分析重力中過山車運動，要過圓軌道存在一個最高點，在最高點滿足重力當好提供向心力，只要過最高點就能安全通過圓軌道。如果將斜面順時針轉過30°，就成了如圖9所示的過山車模型，最高點應為等效重力方向上直徑對應的點B，則B點應滿足“重力”當好提供向心力即： mg′=mv2BR

假設以最小初速度v0運動，小球在斜面上作勻速直線運動，進入圓軌道后只有重力等效做功，則根據動能定理： 

-mg′2R=12mv2B-12mv20

解得：v0=103gR3

4 斜拋類問題

例4 如圖10所示，勻強電場水平向右，E=103N/C，一帶正電的油滴的質量m=2.0×10-5kg，電量q=2.0×10-5C。在A點時速度大小為v=20m/s，方向為豎直向上，則油滴在何時速度最小且求出最小速度？



運動特點 小球具有一定初速度，在運動只受重力、電場力兩個恒力的曲線運動。

對應聯想 在重力場中物體只受重力，具有初速度的運動，對應有平拋、斜拋。

等效分析 如圖11所示仍把重力與電場力等效成一個重力，mg′=(qE)2+(mg)2=2mg，等效重力加速度g′=2g，等效重力與初速度不垂直，于是可等效為重力場中斜拋運動。

規律應用 研究斜拋運動方法是建立水平、豎直坐標，即沿重力方向與垂直方向的坐標，對應分解速度，運動可等效為水平勻速速度，豎直先勻減速運動后勻加速運動，當豎直方向速度為零時速度最小。如果整個模型面順時針轉過60°就成如圖12所示的重力場中斜拋模型。建立坐標，同時對應分解初速度。則油滴的運動可等效為x方向勻速運動，y方向先做勻減速運動后勻加速的運動。

分析可得，當y方向速度為零，油滴的速度最小為

vmin=vx=v0cos30°=103m/s

對應時間為：t=vyg′=v0sin30°2g=0.5s由以上四例可見，由于恒定電場與重力場在性質上相似，運用等效法將電場、重力場等效為重力場，聯想重力場中熟悉的模型，運用對應的規律，使電場問題得以簡化。合理運用等效法解題，能將問題化繁為簡、化生為熟、化難為易，這不僅能提高學生的解題速度，而且還有助于學生理解能力、應變能力和創造能力的培養。但要注意“等效”并非指事物的各個方面效果都相同，而是強調某一方面的效果。因此一定要明確不同事物在什么條件、什么范圍、什么方面等效。通常可以考慮對下列因素進行等效替代：研究對象、物理模型、物理狀態、物理過程、物理作用等。這里只介紹了物理模型等效替代，且局限于帶電粒子在勻強電場中運動的問題。