衛星做橢圓運動解法探討

天體的運動軌跡往往是圓或橢圓，而現行物理教科書中對圓形軌道的介紹較多，軌跡為橢圓的天體運動則介紹甚少。針對參加物理競賽同學在解答衛星做橢圓運動一類試題所遇到的問題，以及全國中學生物理競賽考綱要求考生掌握軌跡為橢圓的天體運動。本文對如何解答此類問題進行簡單探討。

1 衛星做橢圓運動遵循的基本規律

1.1 開普勒定律

天體的運動必須遵守開普勒天體運動三定律，即行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上；行星與太陽之間的連線在相等的時間內掃過相等的面積；行星軌道的半長軸的三次方跟它的運動周期的二次方的比值都相等，即a3T2=k。對于衛星繞地球的運動同樣遵循開普勒三定律。

1.2 萬有引力定律

衛星繞地球做橢圓運動，其本質是因為受到地球引力的作用，所以衛星的運動遵守萬有引力定律，即F=GMmr2，這是衛星運動的最根本規律。

1.3 機械能守恒定律

衛星在運動過程中只有動能和引力勢能的相互轉化，因此衛星的運動過程滿足機械能守恒定律，即

12mv21-GMmr1=12mv22-GMmr2

式中12mv2表示衛星的動能，-GMmr表示衛星的勢能。

另外，除了上面的物理規律外，還涉及到高中數學平面解析幾何中的橢圓知識，這里不再贅述。需要說明的是圓是離心率為1的橢圓。

2 例析規律的應用

例1 飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T。若飛船要返回地面，可在軌道上的某一點A處將速率降低到適當數值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動，橢圓與地球表面在B點相切，如圖1所示。若地球半徑為R0，求飛船由A點到B點所需要的時間。



解析 圓軌道是離心率為零的特殊的橢圓軌道。根據題意，飛船繞地球做圓周運動時，其軌道半徑的三次方跟周期平方的比值等于飛船繞地球沿橢圓軌道運動時其半長軸的三次方跟周期平方的比值。設飛船橢圓軌道的半長軸為a，運行周期為T0，則有

a3T20 =R3T2

a=R+R02

解之得T0=T2R3(R+R02)3

則飛船從點到點所需的時間為

t=T02=(R+R0)T4R#8226;R+R02

例2 空間站和宇宙飛船對接在一起以半徑R繞地球做圓周運動，某時刻飛船在A處脫離空間站，并沿原來的速度方向加速，加速后飛船進入一橢圓軌道，空間站仍在圓軌道運動。若飛船在橢圓軌道上運行一周后恰好又能在A處與運行了N圈的空間站對接。試求：飛船在橢圓軌道的遠地點的速度大小。已知地球質量為M。

解析 設空間站做圓周運動的周期為T，飛船做橢圓運動的周期為T0，遠地點距離地心為r。根據題意有萬有引力定律和向心力公式有

GMmR2=mω2R

式中ω=2πT為空間站做圓周運動的角速度。

由開普勒第三定律有

R3T2=a3T20

式中a=R+r2為飛船橢圓軌道的半長軸。

空間站的圓周運動與飛船的橢圓運動的周期關系為

NT=T0

設飛船在橢圓軌道近日點與遠日點的速度大小分別為v1、v2，根據開普勒第二定律有

Rv1=rv2

根據機械能守恒定律有

12mv21-GMmR=12mv22-GMmr

綜合以上各式解得

v2=GMRN23(2N23-1)

本例是一道綜合題，在解題過程中綜合運用了開普勒三定律、萬有引力定律和機械能守恒定律。通過本例體現了在解決此類問題時需要綜合考慮這三大規律，根據具體問題具體分析，才能巧妙地解決衛星乃至行星的橢圓運動的問題。