帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的邊界問題

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是高考物理的考查重點(diǎn)，近年高考試題中設(shè)置的情景往往是磁場(chǎng)有邊界或有障礙物，使粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)殘缺圓，或者是帶電粒子離開有界磁場(chǎng)再作其它形式的運(yùn)動(dòng)， 試題情景具有開放性，富有探究性，這類試題要求考生根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡去尋找?guī)缀侮P(guān)系，將物理規(guī)律與數(shù)學(xué)工具結(jié)合起來分析，考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的能力和分析綜合的能力。帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的邊界問題大體分為以下兩類：

1 帶電粒子的速度大小、方向不確定引起的邊界問題

例1 如圖1，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B = 0.60T，磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab ，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距ab距離l =16cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的α放射源S。它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v =3.0×106m/s，已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比 q / m = 5.0×107 C/ kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長度。



解析 α粒子帶正電，在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，令半徑為R ，則

qvB = m v2/R ， 得 R= m v /qB 

代入數(shù)據(jù)得：R =10cm

顯然2R＞l＞R ，因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡均過S點(diǎn)，故此，某一圓軌跡在圖2中N左側(cè)與ab相切，則切點(diǎn)P1即為α粒子能打中左側(cè)的最遠(yuǎn)點(diǎn)。令圓心為Q，由圖2中幾何關(guān)系知NP1=R2-（l-R）2=8cm



對(duì)于右側(cè)，易知任何α粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過2R ，以2R為半徑，S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn) NP2=（2R）2-l2=12cm

所求長度為：P1P2= NP1 + NP2= 20 cm， 因此ab上被α粒子打中區(qū)域長度為20cm。

方法歸納 本題開始分析時(shí)，可假設(shè)粒子速度方向向下，其軌跡為經(jīng)過出發(fā)點(diǎn)S的直徑為2R的圓，然后考慮從S點(diǎn)出發(fā)的粒子速度方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，粒子的圓軌道以S為中點(diǎn)逆時(shí)針滾動(dòng)，觀察圓軌道與ab直線的相交情況，據(jù)動(dòng)態(tài)分析，可確定圖2中P2點(diǎn)為粒子打在ab板上最右端的位置。繼續(xù)將粒子圓軌道以S點(diǎn)為中心逆時(shí)針滾動(dòng)，可知圓軌道與ab相切點(diǎn)P1為粒子到達(dá)ab 最左端的位置。解這類題目， 要進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，細(xì)心探究，然后作出正確的示意圖，若畫的圖形龐雜零亂，會(huì)給分析和計(jì)算帶來失誤，部分學(xué)生誤認(rèn)為P1、P2對(duì)稱，導(dǎo)致出錯(cuò)，解題時(shí)不能想當(dāng)然，更不能以猜想作為結(jié)論。

2 磁場(chǎng)區(qū)域（大小、位置）不確定引起的邊界問題

例2 一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于x y平面，在x y平面上，磁場(chǎng)分布在以O(shè)為中心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)，初速為v，方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸為30°，P到O的距離為l ， 如圖3所示，不計(jì)重力的影響，求磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B的大小與x y平面上磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R。



解析 令粒子軌跡半徑為r ，由洛侖茲力提供向心力則qvB = mv2/r

如圖4所示，由題意可推知，軌跡的圓心必在y軸上，且P點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域外，過P點(diǎn)沿速度的反方向作延長線，與x軸交于Q點(diǎn)，作圓弧過點(diǎn)O與x軸相切，且與PQ相切，切點(diǎn)A即粒子離開磁場(chǎng)區(qū)的位置。由題中知：L = 3r

解得磁感強(qiáng)度B = 3 m v/q L

圖中OA長度即圓形磁場(chǎng)區(qū)半徑R，易知場(chǎng)區(qū)域的半徑R=3L/3

方法歸納 帶電粒子在有界磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間再飛出磁場(chǎng)邊界，解決這類問題思維突破方法：先作出帶電粒子飛離磁場(chǎng)后的軌跡（如本題中， 將離開磁場(chǎng)的軌跡直線反向延伸）與粒子在磁場(chǎng)中圓運(yùn)動(dòng)軌跡的相交點(diǎn)，該點(diǎn)往往就是有界磁場(chǎng)的邊界，再據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中圓運(yùn)動(dòng)軌跡與粒子離開磁場(chǎng)后的直線軌跡結(jié)合， 尋找?guī)缀侮P(guān)系，列出相應(yīng)關(guān)系式。解題中要注意以下兩點(diǎn)：一是圓心的確定， 因?yàn)槁鍋銎澚⊥v ，畫出圓軌跡上的任意兩點(diǎn)（一般為進(jìn)入和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)）的洛侖茲力的方向，其延長線交點(diǎn)即為圓心；二是半徑的計(jì)算， 一般利用幾何知識(shí)解直角三角形。

同步訓(xùn)練

1.在邊長為2a的等邊△ABC內(nèi)存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有一帶正電q，質(zhì)量為m的粒子從距A點(diǎn)3a的D點(diǎn)垂直AB方向進(jìn)入磁場(chǎng)，如圖5所示，若粒子能從AC間離開磁場(chǎng)，求粒子速率應(yīng)滿足什么條件及粒子從AC間什么范圍內(nèi)射出。

2.一質(zhì)量為m ，帶電量為q的粒子，以速度v0 從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感強(qiáng)度為B的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向夾角為30°，如圖6所示，不計(jì)粒子重力，求：

（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；

（2）粒子從O進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域到達(dá)b所經(jīng)歷的時(shí)間及b的坐標(biāo)。

3. 如圖7所示，A、B為水平放置的足夠長的平行板，板間距離為d =1.0×10－2m，A板中央有一電子源P ，在紙面內(nèi)能向各個(gè)方向發(fā)射速度在0 ~ 3.2×107 m/s 范圍內(nèi)的電子，Q為P點(diǎn)正上方B板上的一點(diǎn)，若垂直紙面加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B = 9.1×10－3T，已知電子的質(zhì)量m = 9.1×10－31kg，電子電量e= 1.6×10－19C，不計(jì)電子重力和電子間的相互作用力，且電子打到板上均被吸收，并轉(zhuǎn)移到大地。求：

（1）沿PQ方向射出的電子擊中B兩板上的范圍；

（2）若從P點(diǎn)發(fā)出的粒子能恰好擊中Q點(diǎn)，則電子的發(fā)射方向（用圖中θ角表示）與電子速度的大小v之間應(yīng)滿足的關(guān)系。



“帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的邊界問題”答案

1.3（2－3）aqB/m＜ v ≤ aqB/m ，粒子距A點(diǎn)（23－3）a ～3a 的區(qū)間射出。

2.（1）3πm2v02/4q2B2

(2) t = (33+2π) m / 3qB ，

xp = 3 m v0 /qB，

yp = 0

3.（1）與Q點(diǎn)相距 2.7×10－3m～1.0×10－2m 

(2)vsinθ=8×106m/s`