速度相同問題分類例析
2008-12-31 00:00:00楊樹鋒
物理教學探討 2008年10期
在追及、碰撞問題中，當兩個物體速度相同（即相對速度為零）時，通常伴隨著某些物理特征出現。如果我們在解題時，能弄清楚并加以區別“速度相同”時系統出現的不同特征，各種追、撞總是便很易求解。下面結合具體范例作分類分析。
1 兩車速度相同時，相距最遠（或最近）的問題
例1 一輛汽車以v=30m/s的速度在平直公路上行駛。在它經過公路上的某處A時，A處的一輛摩托車正以5m/s2的加速度從靜止開始與汽車同向起動。問摩托車追上汽車之前何時二者相距最遠？最遠距離為多少？
解析 汽車做勻速直線運動，摩托車做初速度為零的勻加速直線運動。在運動過程中，只要摩托車的速度還小于汽車的速度，它們相距就越來越遠，兩車速度相同時，對應的物理特征是兩車相距最遠。一旦摩托車速度超過汽車速度，兩車距離將逐漸減小……
由v=at
得：t=va=305s=6s
此時兩車相距最遠，其最遠距離為：
例2 一輛汽車以20m/s的速度沿直路向東行駛，當它行駛到靜止在路邊的摩托車西面60m時，摩托車突然開始以4m/s2的加速度向東駛去。（1）汽車能否追上摩托車？（2）何時兩車距最近？最近距離是多少？
解析 汽車在追趕摩托車的過程中，只要摩托車的速度還小于汽車的速度，兩車相距就越來越近，一旦摩托車的速度大于汽車的速度，原來已被縮小的距離就會又被拉大，因此兩車速度相同時，相距最近。
當兩車速度相同時，由v=at
得：t=va=204s=5s
在5s內兩車的距離縮短了
ΔS=vt-12at2=50m
因為ΔS<60m，所以汽車追不上摩托車，它們相距的最近距離為S′=60m-50m=10m。
2 速度相同時，兩物體間彈簧伸長量（壓縮量）最大，彈簧的彈性勢能最大
例3 如圖1所示，一輕質彈簧兩端連著物體A、B并放在光滑的水平面上，水平速度為v0的子彈射中物體A以后嵌在了物體A中。已知mB=m，mA=3m/4，m0=m/4，彈簧的勁度系數為k。求（1）彈簧壓縮最大時B的速度；（2）彈簧儲存的最大彈性勢能。
解析 子彈打入物體A的瞬時，二者獲得共同速度，它們向右運動時壓縮彈簧，在彈簧彈力作用下，物體A做減速運動，B做加速運動。當B的速度小于A的速度時，兩物體距離越來越近，彈簧一直處于縮短狀態。當兩物體速度相同時，對應的物理特征是：①彈簧壓縮量最大；②彈簧儲存的彈性勢能最大。
將子彈和物體A視為一個系統，在子彈射進A的過程中，由動量守恒定律得：
m0v0=(mA+m0)vA0①
將子彈和物體A、B視為一個系統，在從子彈碰到A到A、B達到相同速度的過程中，由動量守恒定律得：
m0v0=(mA+mB+m0)v②
在彈簧被壓縮的過程中，用能的轉化和守恒定律可得彈簧的最大彈性勢能為：
EP=12（m0+mA）v2A0-12(mA+mB+m0)v2 ③
代入值解①~③得：EP=164mv20
討論 本例中，當物體A（包括子彈）和物體B的速度第1次達到相同時，彈簧壓縮量最大。之后，在彈力作用下，B繼續加速，A繼續減速，vB將大于vA，使A、B間距離增大彈簧壓縮量減小。當A的速度減為零、B的速度為vB=vA0時，彈簧處于原長狀態（想想這是為什么）。然后，彈簧逐漸伸長，由于彈力的作用，B作減速運動，A做加速運動，只要vB還大于vA，A、B之間的距離繼續增大。當A、B的速度又相同時，彈簧的伸長量最大，彈簧儲存的彈性勢能又達到最大（此時跟壓縮量最大時的勢能相等）……
3 速度相同時，小物體恰到達最高點的問題
例4 質量M=2kg的小車靜止在光滑水平面上，如圖2所示。車上AB段長l=1m，動摩擦因數μ=0.3，BC部分是半徑R=0.9m光滑的1/4圓弧形軌道。今有質量m=1kg的金屬滑塊以水平速度v0=5m/s沖上小車，試求金屬滑塊能上升的最大高度。
解析 金屬滑塊以初速v0沖上小車，在AB段由于受到摩擦力作用，滑塊做勻減速運動，小車做勻加速直線運動。可以算出滑塊到達B點時的速度仍大于小車的速度，所以，它繼續沿圓弧向上運動（繼續減速），小車繼續做加速運動。如兩者的速度能達到相同，這時對應特征是：滑塊沿弧到達最大高度（之后滑塊將沿弧向下滑動）。
滑塊和小車組成的系統在水平方向所受合外力一直為零，動量守恒，因此有：
mv0=(M+m)v①
由能量守恒得：
12mv20=12（M+m）v2+μmgl+mgH②
聯立①②兩式代入值得：H=815mH<0.9m，所以滑塊沒有到達車上沿就與車速度相同了。因此H=815m即為滑塊能上升的最大高度。
還有一些特殊問題，比如兩小車上分別放有線圈和磁鐵，當兩車速度相同時，車上線圈中感應電流為零、相互作用力消失的問題。
例5 如圖3所示，小車甲上固定一條形磁鐵，總質量為m1=5kg，開始時處于靜止狀態。小車乙上固定一閉合的螺線管，其總質量m2=5kg。小車乙以6m/s的初速度向甲車運動。若磁鐵和螺線管等高正對，不計摩擦，求（1）甲、乙兩車相距最近時的速度分別為多大？（2）在兩小車作用的過程中，螺線管內最多可產生多少熱量？
解析 當乙車向甲車靠近時，由于穿過閉合螺線管的磁通量增加，在線圈內產生感應電流（由楞次定律判定電流方向，如圖所示）。感應電流的磁場跟原磁場相互排斥，因此，甲車由靜止開始做加速運動，乙車做減速運動，當v乙>v甲時，兩車相距越來越近。當兩車速度相同時，對應的物理特征是：①兩車相距最近；②穿過螺線管內的磁通量最大（磁能量變化率為零），線圈內感應電流為零，兩車的相互作用力消失。這一過程中減少的機械能全部轉化成了熱能。之后，兩小車以相同速度向左勻速運動。
對整個系統，由動量守恒定律得：
m2v0=(m1+m2)v
由能量守恒得：
12m2v20=12(m1+m2)v2+Q熱
代入值得：v=3m/s，Q熱=45J
綜上可知，兩物體速度相同是很重要的臨界條件，只要抓住這一條件下它們的物理特征，有關問題就會迅速獲解。
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
