電場情境中的圓周運動

勻速圓周運動是力學(xué)中四種基本運動模型之一，圓周運動也是高考每年必考的重點知識。對向心力來源的分析以及對軌跡平面、圓心、半徑的確定是求解圓周運動問題的關(guān)鍵。本文著重例析幾種不同電場情境中的圓周運動。通過這些例析，將有助于培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維能力、還原物理模型的能力、知識與方法的遷移能力、空間想象能力、縝密的思維能力。

1 點電荷電場中的圓周運動

例1 如圖1所示，在直角坐標(biāo)xOy內(nèi)，有一質(zhì)量為m，電量為+q的電荷從原點O沿y軸正方向以初速度v0出發(fā)，電荷重力不計。現(xiàn)要求該電荷能通過點P（a，-b）。試設(shè)計在電荷運動的空間范圍內(nèi)加上“電場”后并運用物理知識求解的一種簡單、常規(guī)的方案。

（1）說明電荷由O到P的運動性質(zhì)，并在圖中繪出電荷運動的軌跡;

（2） 用必要的運算說明你設(shè)計的方案中相關(guān)物理量的表達式（用題設(shè)已知條件和有關(guān)常量）。 

析 因教材只討論了帶電粒子在勻強電場中的偏轉(zhuǎn)，受思維定勢的影響，初次接觸此題的大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為加勻強電場是一種簡單、常規(guī)的方案，其實不然。

事實上，自然界中控制物體運動常規(guī)而簡單的方案是設(shè)法使物體做圓周運動。例如：可認(rèn)為人造衛(wèi)星在地球的控制之下繞地心作圓周運動，也可認(rèn)為在氫原子核的控制之下，核外電子繞核作圓周運動。基于以上聯(lián)想，常規(guī)而簡單的方案應(yīng)該是電荷從O點沿圓周運動到P點。

解 （1）電荷由O到P的運動是勻速圓周運動。連接OP，作OP的垂直平分線交x軸于O1點，再以O(shè)1為圓心，OO1為半徑畫圓弧即為粒子從O到P的運動軌跡， 如圖2所示。

（2）為使粒子由O勻速率運動到P，可在O1處放置一負(fù)電荷-Q，電量Q即為設(shè)計方案中所要求的相關(guān)物理量。

對粒子用向心力公式得:kQqr2=mv20r 

由幾何關(guān)系得:（a－r）2+b2=r2

解得：Q=(a2+b2)mv202akq

點評 突破思維定勢的束縛，運用聯(lián)想思維是求解本題行之有效的策略。

例2 一帶電量為Q的固定正點電荷在真空中形成的電場如圖3所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為q的微粒在此點電荷附近做周期為T的勻速圓周運動，微粒的重力不能忽略。求

（1）微粒的帶電性質(zhì);

（2）微粒的軌跡所在平面及圓心O的位置。

析 本題的“母親”實質(zhì)上是圓錐擺模型，從溫習(xí)圓錐擺模型入手，若將繩剪斷，而要使小球仍在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，這就需要找到繩對小球拉力的替身。若使小球帶上-q的負(fù)電荷，同時在懸點處置一電量為+Q的正點電荷，合理選取q、Q的數(shù)值，即可實現(xiàn)庫侖力對繩的拉力的等效替換， 進而將本題還原成圓錐擺模型。

解 （1）微粒帶負(fù)電

（2）微粒的軌跡平面是水平面，圓心O在+Q的正下方。

設(shè)圓心O到+Q的距離為h，微粒受力分析如圖4所示，庫侖力F與豎直方向的夾角為θ。則：

Fcosθ=mg

Fsinθ=m4π2T2r

r=htanθ

解得 h=gT24π2

點評 將新的問題還原成熟悉的物理模型是求解本題的關(guān)鍵。

2 等量同種電荷電場中的圓周運動

例3 如圖5所示，空間A、B兩點固定著一對等量正點電荷，今有一重力可忽略的帶電微粒在它們產(chǎn)生的電場中運動，帶電微粒在電場中所做的運動可能是：

A.勻變速直線運動

B.類平拋運動

C.機械振動

D.勻速圓周運動

（1）選出正確選項。

（2）對不可能的選項說明不選的本質(zhì)原因，對可能的選項定性描述其可能的運動。

析 受平面運動思維定勢的影響，初次接觸本題的絕大多數(shù)考生不能想到D是正確的。從勻速圓周運動的條件出發(fā)思考，重力可忽略的帶電微粒要做勻速圓周運動，等量異種電荷的電場必須對微粒施加一大小不變且方向指向圓心的電場力，或圓上各點的場強大小相等，方向始終指向圓心，這些點不可能在過AB的平面內(nèi)，而是在AB連線的中垂面內(nèi)以O(shè)為圓心的圓上。

解 （1）CD

（2）A不可能的本質(zhì)原因：帶電粒子在電場中不可能受到恒定的外力作用，所以不可能做勻變速直線運動。

B不可能的本質(zhì)原因：帶電粒子在電場中不可能受到恒定的外力作用，所以不可能做類平拋運動運動。

C項滿足的條件：使帶負(fù)電的粒子在AB連線的垂直平分線上，以中點O為對稱位置可以做機械振動；或在AB連線上正電荷由其中一電荷內(nèi)側(cè)釋放。

D項滿足的條件：使帶負(fù)電的粒子在經(jīng)O點垂直于AB連線的平面內(nèi)以一定方向的初速度運動，就可以做勻速圓周運動。

點評 本題有助于學(xué)生實現(xiàn)從平面思維向空間思維的發(fā)展。

3 勻強電場中的圓周運動

例4 如圖所示，長為l的輕線一端固定于O點，另一端系一電量為-q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電的小球。現(xiàn)給小球一水平初速度v0，同時在空間加一場強大小為E、方向豎直向下的勻強電場，問：v0至少多大可使小球在豎直平面內(nèi)作完整的圓周運動？ 

析 初次接觸本題的絕大多數(shù)學(xué)生往往漏解，這說明學(xué)生思維的縝密性有待提高。因帶負(fù)電的小球所受向上的電場力qE與重力mg的大小關(guān)系未知，故本題應(yīng)按qE、mg的大小關(guān)系分類討論。

解 ①若qE＜mg，設(shè)小球恰好通過最高點時的速度為v，據(jù)向心力公式得： 

點評 本題有助于培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維能力。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。