淺析靜電場中等勢面的應用

等勢面可用來形象的表示電場中電勢的分布情況。一般說來，靜電場中各點的電勢是逐點變化的，但是場中許多點的電勢值是相等的。把這些電勢值相等的各點連起來所構成的曲面叫做等勢面。在描繪等勢面時，要使任何兩個相鄰等勢面間的電勢差都相等。所以場強愈大處，等勢面愈密集，場強愈小處，等勢面愈稀疏。等勢面和電場線結合在一起，就能非常形象地反映電場的屬性和特點，使學生對看不見，摸不著的電場有一個直觀的認識。如何運用等勢面的特點來分析電場，在近幾年高考題中也時有出現。筆者將從以下幾個方面來分析等勢面的運用。

1 借助等勢面判斷電場的可能情況

例1 在電場中建立如圖1所示的xOy平面直角坐標系，一個正的檢驗電荷由A點分別沿不同的路徑移動到B點和C點，在這個過程中，檢驗電荷都要克服電場力做功，并且做功相等。在下列所述的電場中，可能出現上述情況的是：（ ）

A.場源電荷在第四象限，是正點電荷

B.場源電荷在第一象限，是負點電荷

C.存在勻強電場，方向沿y軸正方向

D.存在勻強電場，方向沿x軸負方向

解析 依題意，正電荷由A點分別沿不同的路徑移動到B點和C點，電場力做功WAB=WAC<0，則φB=φC>φA，B、C兩點在同一等勢面上。若是點電荷形成的電場，則B、C兩點處在同一球面上，場源電荷一定在BC中垂線上的某一點，所以選項B錯。當場源電荷是正電荷且在第四象限時，它到A點的距離大于它到B點或C點的距離，所以A點電勢小于B點和C點的電勢，選項A對。若是勻強電場，則y軸為一等勢面，電場線應垂直于y軸，又φB>φA，所以電場線方向沿x軸負方向，選項D對。

2 曲線型等勢面與電場線正交關系的應用

例2 如圖2所示，虛線表示電場中一簇等勢面，相鄰等勢面之間電勢差相等。一個α粒子以一定的初速度進入電場中，只在電場力作用下從M點運動到N點，此過程中電場力對α粒子做負功。由此可以判斷( )

A．M點的電勢高于N點的電勢

B．α粒子在M點受到的電場力大于在N點受到的電場力

C．α粒子在M點的電勢能小于在N點的電勢能

D．α粒子經過M點時的速率小于在N點時的速率



解析 過M點的電場線應垂直于過M點的等勢面，由于α粒子做曲線運動，只受電場力作用，電場力要指向曲線的凹側，所以α粒子在M點所受電場力應垂直等勢面向下，如圖3所示。又α粒子帶正電，所受電場力方向與電場線方向一致，所以由上往下，電勢逐漸降低，即φN>φM，選項A錯。N點處等勢面較密集，所以α粒子在N點受到的電場力大于在M點受到的電場力，選項B錯。α粒子電勢低的等勢面向電勢高的等勢面運動，電場力做負功，電勢能增加，動能減少，所以選項C對，選項D錯。

3 勻強電場中等勢面的輔助作圖法

例3 （07江蘇卷21題）勻強電場中的三點A、B、C是一個三角形的三個頂點，AB的長度為1m，D為AB的中點，如圖4所示。已知電場線的方向平行于ΔABC所在平面，A、B、C三點的電勢分別為14V、6V和2V。設場強大小為E，一電量為1×10－6C的正電荷從D點移到C點電場力所做的功為W，則（ ）

A．W＝8×10－6J，E＞8V/m

B．W＝6×10－6J，E＞6V/m

C．W＝8×10－6J，E≤8V/m

D．W＝6×10－6J，E≤6V/m



解析 勻強電場中，任意直線上，電勢均勻變化，所以D點電勢為10V，UDC=8V，WDC=qUDC=8×10-6J，選項B、D錯。同理，CD中點M的電勢為6V，與B點電勢相等，連接BM，為一條等勢線，過B點做BM的垂線即為電場線，考慮到C點電勢小于B點電勢，所以電場線方向向上，如圖5所示。過A點做BM的平行線交電場線于N點，則UAB=ENB=8V，而NB<AB＝1m，所以E>8V/m，選項A對，選項C錯。

4 帶電粒子在不同等勢面間運動的能量特征

例4 圖6中虛線所示為靜電場中的等勢面1、2、3、4，相鄰等勢面間的電勢差相等，其中等勢面3的電勢為零。一個帶正電的點電荷在靜電力的作用下運動，經過a、b兩點時的動能分別為26eV和5eV，當這一點電荷運動到某一位置時，其電勢能變為－8eV，此時它的動能應為（ ）

A. 8 eV B. 13 eV C. 20 eV D. 34 eV

解析 正電荷只受電場力作用，整個運動過程中動能和電勢能相互轉化，總量保持不變。由a到b，動能減少了21eV，由于相鄰兩個等勢面電勢差相等，電荷經過相鄰的等勢面，電場力做功相等，動能減少相同的量，即7eV，所以正電荷在等勢面3時的動能為12eV。又等勢面3的電勢為零，正電荷在該等勢面處電勢能也為零，所以正電荷在等勢面3處的總能量為12eV，這也是整個運動過程中正電荷的總能量。所以當其電勢能為－8eV時，動能應為20eV，這樣，總能量才是12eV，所以選項C正確。

5 復合場中帶電粒子沿等勢面運動時的功能轉換

例5 如圖7所示，在O點處放置一個正電荷。在過O點的豎直平面內的A點，自由釋放一個帶正電的小球，小球的質量為m、電荷量為q。小球落下的軌跡如圖中虛線所示，它與以O為圓心、半徑為R的圓（圖中實線表示）相交于B、C兩點，點O、C在同一水平線上，∠BOC=30°，A點距離OC的豎直高度為h。若小球通過B點的速度為v，下列說法中正確的是（ ）

A.小球通過C點的速度大小是2gh

B.小球通過C點的速度大小是v2+gR

C.小球由A點到C點電場力做功是12mv2-mgh

D.小球由A點到C點損失的機械能是mg(h-R2)-12mv2

解析 B、C兩點處于同一等勢面上，正電荷從B運動到C，電場力做功為零，只有重力做功，由動能定理mghBC=12mv2c-12mv2，又hBC=Rsin30°=R2，所以vc=v2+gR，選項A錯，B對。正電荷從A運動到C，由動能定理mgh+W電=12mv2c-0，求得W電=12mv2-mg(h-R2)，選項C錯。由能量守恒定律，正電荷從A運動到C，減少的機械能等于增加的電勢能，而增加的電勢能E電=-W電，所以減少的機械能等于mg(h-R2)-12mv2，選項D對。

6 根據等勢面的分布情況分析帶電粒子的運動

例6 （04北京卷21題） 靜電透鏡是利用靜電場使電子束會聚或發散的一種裝置，其中某部分靜電場的分布如圖8所示。虛線表示這個靜電場在xoy平面內的一簇等勢線，等勢線形狀相對于ox軸、oy軸對稱。等勢線的電勢沿x軸正向增加，且相鄰兩等勢線的電勢差相等。一個電子經過P點（其橫坐標為-x0）時，速度與ox軸平行。適當控制實驗條件，使該電子通過電場區域時僅在ox軸上方運動。在通過電場區域過程中，該電子沿y方向的分速度vy隨位置坐標x變化的示意圖是（ ）



解析 根據等勢面的情況，我們可以大致畫一條電場線，如圖9所示。電子在y軸左側受到的電場力指向右下方，可以分解為水平向右的分量和豎直向下的分量。電子在y軸右側受到的電場力指向右上方，可以分解為水平向右的分量和豎直向上的分量。所以電子在整個運動過程中，水平方向一直在加速，當在y軸右側運動的水平位移也為x0時，其平均速度vx比在y軸左側運動的平均速度大，運動時間也就比在y軸左側運動時間短。豎直方向，電子在y軸左側運動時向下加速，在y軸右側運動時向下減速，電子運動時的加速度ay是逐點變化的，由于越接近x軸，等勢線越稀疏，電子在豎直方向的加速度越小，同時在y軸右側運動時間短，所以電子在豎直方向的速度不可能減為零。綜上所述，正確的選項應為D。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。