企業融資決策數學模型的建構及應用
2008-12-31 00:00:00劉洪運
商業研究 2008年9期
摘要：應用最優控制技術， 建立一種企業融資決策數學模型及融資決策方法.充分利用微分方程與線性規劃理論[1][2]，較圓滿地解決了有關融資決策的優化問題. 給出了既能降低融資成本，又提高經營效益的融資決策方法，為企業獲得最佳投資效益提供決策依據。
關鍵詞：融資決策;最優控制技術；數學模型
中圖分類號：F019 文獻標識碼：A
The Construction and Application of Mathematical Models into Corporate Financing Decision-making Policy
LIU Hong-yun
(Shangqiu Vocational and Technical College，Shangqiu 476000，China)[GK2!2]
Abstract:
The application of optimal control techniques involves， constructing mathematical models and financing decision-making method in the practise of corporate financing decision-making policy.With differential equation and linear programming，the paper presents a solution to optimizing financing decision-making policy.This decision-making method can lower cost and improve the operational profits， providing enterprise with the optimal investment returns.
一、問題的提出
隨著市場經濟與金融市場的發展，逐步形成了股票、銀行貸款、信用債券等多方位的企業融資渠道，使企業在一定范圍內，能夠方便、迅速的籌集資金，滿足自身經營與發展的需要。如何進行企業融資決策，降低融資成本，提高經營效益成為企業日常經營中的普遍問題。對企業融資模型與決策方法的探討已有相關結果(見[3])，但還不夠圓滿。本數學模型應用最優控制技術，建立一種完備的融資決策方法。
二、模型的構建
引入以下記號：
X(t)——企業時間t時的利潤函數；
U(t)——債券發行量系數，企業決策變量。X(t)U(t)為時間t時的債券發行數額，若記C=1-籌資成本系數(＜0＜C＜1，常數)， 則CU(t)X(t)即為時間t時外部投資速度函數；
V(t)——利潤中用于投資的比例系數，企業決策變量。V（t）X(t)為時間t時內部投資速度函數；
ρ——社會貼現率；
r——企業資金利潤率；
g——企業資產增長率上限。
以上變量及常數滿足如下關系式
[SX（]dX[]dt[SX)]=r(CU+V)X，[JY](1)
U≥0，0≤V≤1
按照資產增長率限制g，可以推知[SX(]dX[]dt[SX)]/X≤g， 從而有CU+V≤[SX(]g[]r[SX)]
企業在規劃期[0，T]內的總收益的貼現值為∫T0(1-V)Xe-ρtdt，此期間所發行的債券總額的貼現值為∫T0UXe-ρtdt，從而企業追求的目標利潤為J=∫T0(1-U-V)Xe-ρtdt
由此得到企業融資行為的最優控制模型
max[DD(][]u，y[DD)]J=∫T0(1-U-V)Xe-ρtdt
s.t. [SX(]dX[]dt[SX)]=r(CU+V)X，
CU+V≤[SX(]g[]r[SX)]，
U≥0，0≤V≤1
三、模型的求解與分析
根據求解最優控制問題的極大值原理，最優決策 應使哈密頓函數最大化
H=（1-U-V）X+rλ(CU+V)X=[(rcλ-1)U+(rλ-1)V+1]X
其中λ為協狀態變量，它滿足協狀態方程
記W1=rcλ-1，W2=rλ-1，則H=(W1U+W2V+1)作為U，V的函數。最大化H等價于最大化W1U+W2V，從而最優控制模型等價于下面的優化問題：對任何時刻t∈[0，T]
其中變量U，V，X，λ滿足狀態方程(1)及協狀態方程(2)
進一步的討論，需要區分下述兩種情形：
情形Ⅰ：g≤r
這是資產增長率不超過企業資金利潤率的情形．此時(3)中全部約束條件形成UV平面中的三角形區域，如圖1所示，易知三個頂點的坐標分別為
根據微分方程與線性規劃理論，可以得出以下結論。
（1）任何時刻t∈[0，T]，D3=([SX(]g[]cr[SX)]，0)不是(3)的最優解。
注意到V[HJ2.2mm]與U分別表示企業內部、外部投資系數，這一結論的意義是明顯的：由于外部投資需要支付籌資成本，從而在內部投資尚且關閉（V=0）的時候，企業吸收外部投資（U=[SX(]g[]cr[SX)]≥0）顯然是不經濟的。
(2)規劃期內企業投資活動劃分為兩個階段，開始階段[0，t1)最優投資決策為D2=(0，[SX(]g[]r[SX)])結尾階段(t1，T]最優投資決策為D1=(0，0)。
這表明，如果限制企業資產增長率不得超過其資金利潤率，企業只需要在規劃期的初始階段，以約束條件所允許的最大比例（V=[SX（]g[]r[SX)]）啟動內部投資，而始終都不需要開啟外部投資(U=0)。
（3）作為內部投資的關閉時間t1，它是使得一單位內部投資能夠恰好收回的最后時刻，即∫Tt1re-ρ(t-t1)dt=1，由此解得t1=T-[SX(]1[]ρ[SX)]ln[SX(]r[]r-ρ[SX)]，其中e-ρ(t-t1)為貼現因子，它將[t1，T]時期內各時刻的貨幣額折合為t1時的貨幣額。
情形Ⅱ：g＞r
這是資產增長率可以高于資金利潤率的情形。此時(3)中全部約束條件形成UV平面中的梯形區域，如圖2所示。易知各頂點的坐標分別為
再由微分方程與線性規劃理論，可以得出如下結論。[HJ2.4mm]
①任何時刻t∈[0，T]，D4=([SX(]g[]cr[SX)]，0)不是(3)的最優解，這一結論與情形Ⅰ中的①完全類同。
②規劃期內企業投資活動劃分為三個階段，開始階段[0，t2)，最優投資決策為D3=（[SX(]g-r[]cr[SX)]，1）;中間階段(t2，t1)最優投資決策為D2=(0，1);最后階段(t1，T]最優投資決策為D1=(0，0)，這一結論表明，如果允許資產增長率超過資金利潤率，則企業應該吸收外部投資，其最佳方案是:初始階段以最大比例V=1啟動內部投資，同時以系數U=[SX(]g-r[]cr[SX)]啟動外部投資;然后關閉外部投資，但仍保持最大比例V=1繼續內部投資;最后關閉內部投資，停止全部投資活動。
③內部投資的關閉時間仍然是t1=T-[SX(]1[]ρ[SX)]ln[SX(]r[]r-ρ[SX)]，而外部投資的關閉時間t2，應使得企業在t2時出售l單位債券而獲得的C單位外部投資，在全部投資活動停止之前(t2之前)恰好收回，即
四、模型的應用
設企業資金利潤率為15%，資產增長率上限為20%，每元債券的籌資成本為0．05元，若社會貼現率為10%， 考慮企業未來60個月的投資決策。
根據所設T=60，r=0．15，ρ=0．1，C=1-0．05=0．95，由于資產增長率上限高于資金利潤率，應根據情形Ⅱ給出最優投資決策。為此計算
從而企業的最優投資決策如下：
[0，48)時期為第一階段，此間企業同時啟動內、外部投資。其中內部投資系數V=1，企業應將全部利潤即時用于投資；外部投資系數為
企業應參照利潤的 發行債券，吸收外部投資。
(48，49)時期為第二階段，此間應關閉外部投資，但仍將全部利潤用于投資，即取U=0，V=1。
(49，60]時期為第三階段，全部投資活動都應停止，即取U=0，V=0。
五、結語
由以上討論及例證，所述企業融資行為的最優控制模型，只要掌握規劃期內企業的資金利潤率r，資產增長約束g，就可以根據社會貼現率ρ 以及債券發行成本，獲得企業內部、外部投資的開關時間與開啟幅度，從而為企業獲得最佳投資效益提供決策依據。
參考文獻:
[1] 張干宗.線性規劃[M].武漢:武漢大學出版社，2004.
[2] 東北師大數學系微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2005.
[3] 李景華，朱尚偉.企業融資模型與決策方法[J].山西財經學院學報，1993(1):24-26.
(責任編輯：習文)
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