不允許賣空情況下均值－半方差投資組合優化研究

摘要：運用不等式組的旋轉算法求解不允許賣空情況下均值-半方差投資組合模型，并選取滬市六只業績比較好的股票，進行模擬投資，計算出模型的總收益率，并與等比例投資相比較。結果表明均值-半方差投資組合的投資效果總體上優于等比例投資。

關鍵詞：投資組合；均值-半方差模型；旋轉算法

中圖分類號：F224．9;O221．2 文獻標識碼：A

The Optimization on the Mean Semi-absolute Portfolio Model Without Short Sales

ZHANG Peng1， ZHANG Zhong-zhen2

1.School of Management， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan430081，China;

[JZ]2.School of Management， Wuhan University of Technology， Wuhan430070，China)[GK2!2]

Abstract:

The paper uses the pivoting algorithm to solve the mean semi-variance model without short sales. By choosing six stocks from ShangHai Securities Market simulated investment， the paper calculates the total return and compares theactual performance between the model and the geometric proportion investment. The result shows that the performance of the mean semi-variance portfolio is better than the geometric proportion investment.

Key words:

投資組合是分散投資風險的有效途徑。20世紀50年代， Harry.M． Markowitz使用方差度量投資的風險，提出了均值-方差投資組合模型

^[1]。該模型獲得了理論界和實際投資者的基本認同，同時也引起了一些爭議。如這里的方差既包含了可能遭受的損失，也包含了可能獲得的超額收益，而超額收益對投資者來說并不是風險；均值-方差模型對資產收益率呈對稱分布的要求有很大的局限性等。在此基礎上，國外許多學者提出新的投資組合模型，如OuderriSullivan^[2]，GreenHollifield^[3]運用半方差度量投資風險，建立了均值-半方差投資組合選擇模型。

通常，不發達市場如中國的證券市場是不允許賣空的，因此，筆者結合實際情況，研究不允許賣空情況下的均值-半方差投資組合模型及其優化。還選取了1998-2000年滬市6只業績比較好的股票，依據1998-1999年的數據作為樣本數據，運用不等式組的旋轉算法求出不同期望收益率下的最優投資策略，并將得出的最優投資策略應用到其它時段，進行模擬投資，以等比例投資為標準，驗證均值-半方差投資組合模型的效果。

一、均值－半方差投資組合模型

設有n種風險資產，第j種風險資產的收益率為Rj(隨機變量)，其期望值為rj=E(Rj)，記R=(R1，R，2，…，Rn)T，r=(r1，r，2，…，rn)T;第j種風險資產的投資比例為xj，j=1，2，…，n，記x=(x1，x2，…，xn)T，x1+x2+…+xn=1為資本預算約束；e表示分量全為1的n維列向量，則有eTx=1。在不允許賣空情況下xj必須大于或等于0。投資組合的收益率為Rp=RTx=R1 x1+R2x2+…+Rnxn，其均值為rp=rTx，各證券在一定時期中的收益率為rit=(pit+dit)/pit-1，這里pit為第1種證券第t期期末的價格，pit-1為第i種證券第t-1期期末的價格，dit為第i種證券第t期的分紅。收益率小于1表示損失。對于給定的最優投資比例，總收益率R用下面的公式求出：

其中的μ1和μ2是模型（1）前兩個約束條件對應的拉格朗日乘子。

筆者用旋轉算法^[4，5]求解不等式組（2），具體步驟如下：

步驟1：建立初始表。初始基本不等式組由x1≥0，…，xn≥0，μ1≥0，μ2≥0構成，其第i個系數向量是n+2階單位矩陣的第i行，記為ei。初始基本解y(0)=(0，…，0，0，0)T。其余（不）等式是非基（不）等式，它們的系數向量gi=(σi1-，…，σin-，-ri，1)(i=1，2，…，n)，gn+1=(r1，…，rn，0，0)，gn+2=(1，…，1，0，0)。其偏差分別為：σi=giy(0)-0=0(i=1，2，…，n)，σn+1=gn+1y(0)-r0=-r0，σn+2=gn+2y(0)-1=-1。各非基向量的組合系數及其偏差如表1所示：

步驟2預處理。進行兩次旋轉運算：g1入基en+2出基，gn+2入基e1出基，然后刪掉入基向量gn+2所在列和出基向量en+2所在行。

步驟3主迭代。

（i）若所有非基向量的偏差為非負數，停止計算，當前基本解為最優解。否則（ii）以偏差最小的非基向量入基，如果該行沒有正元素，原問題無可行解，停止計算。若該行的對角元素為止，以其為樞軸進行一次旋轉運算，轉（i）；否則，以該行的最大正元素及其對稱元素為樞軸先后進行兩次旋轉運算，轉（i） 。

三、均值-半方差投資組合模型的實證分析

依據行業代表性、流通市值規模、交易活躍程度、上市公司財務狀況和經營業績、地區代表性等原則，選擇1998-2000年的6只股票作為證券投資組合實證研究的對象。6只股票相應的月收益率如表2所示：

其中M-B表示均值-半方差投資組合模型。

根據計算可得，等比例投資情況下的總收益率為1．8970。表5中的總收益率大多數優于等比例投資情況。

此外，實證分析還驗證了旋轉算法的有效性。與通常處理二次規劃問題的算法相比，采用的不等式組的旋轉算法避免了通常所需的松弛變量、剩余變量和人工變量，使計算量更少，操作更為簡便，計算效率也更高，有較為廣闊的應用前景。

參考文獻:

[1] Markowitz， H. Portfolio selection， The Journal of Finance [J]. 1952， 7(1): 77-91.

[2] B.N. Ouderri， W.G. Sullivan. A semi-variance model for incorporating risk into capital investment analysis[J]. Journal of Engineering Economist， 1991，2:211-223.

[3] R.C.Green， B， Hollifield. When will mean-variance efficient portfolio be well diversified? [J]. Journal of Finance， 1992， 47:1785-1809.

[4] 張鵬， 張忠楨， 岳超源. 基于效用最大化的投資組合旋轉算法研究[J].財經研究，2005（12）：117－126.

[5] 張鵬， 張忠楨， 岳超源. 限制性賣空的均值-半絕對偏差投資組合模型及其旋轉算法研究[J].中國管理科學，2006，14（2）：7-11.

（責任編輯：張實）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”