向量法解題之技巧

（環縣職業中專，甘肅環縣745700）

〔關鍵詞〕 向量法；不等式；最值；代數定理

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2008）11（Ａ）—00５8—０1

敢于創新，就會有收獲，數學學習就是如此.數學解題中，若能沖破知識網絡體系的界限，則會思路頓開，妙趣橫生，其樂無窮.本文通過向量法解題例析，展向量法解題之巧妙，看知識點融會之重要.

向量法證明不等式

例1：已知： a，b，x，y∈R+，且x2+y2=1.

求證：+≥a+b.

證明：令=（ax，by），=（bx，ay），則

+=（ax+bx，by+ay）.

由||+||≥|+|，得

+≥，

即+≥.

又∵ x2+y2=1，a，b∈R+，

∴ +≥a+b.

說明：此題用不等式性質求證較繁，但利用向量模的知識||+||≥|+|證明則簡單易行.

例2：已知f（x）＝lg，若0

求證：當x≠0時，有2f（x）

證明：令=（1，2x，a·4x），=（1，1，1），則

·=1+2x+a·4x.

顯然１＋２x+a·４x>0，且·<||·||，

即0<·<||·||.

∴ （·）2<||2·||2，

∴ （1+2x+ a·4x）2<（12+22x+ a２·42x） ·（12+12+12），

∴ （1+2x+ a·4x）2<3（12+22x+ a2·42x），

∴ ２ < ≤

（０

∴ 21g < lg.

即2f（x）< f（2x）.

說明：此題合理構造向量，利用內積的性質 ·g≤||·g||解決問題，思路明晰，使人耳目一新.

向量法求解最值

例3：求函數y=+的最小值.

解：令=（x+3，5），=（5-x，1)，則+=（8，6）.

由|+|≤||+||，得

+≥=10.

∴ y≥10，即函數ymin=10.

向量法證明代數定理

例4：證明余弦定理：三角形任意一邊長的平方等于其他兩邊長的平方和減去這兩邊的長與它們的夾角的余弦乘積的兩倍.

已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.

求證：a2=b2+c2-2bc·cosA，b2=a2+c2-2ac·cosB，c2=a2+b2-2ab·cosC.

證明：令=，=，=，則

==-=-.

由向量模知：||2=·=（-）·（-），

∴ ||2=2-2·+2，

即||2=||2-2||·||·cosA+||2，

∴ a2=b2+c2-2bc·cosA.

同理可證其他兩個結論.

當然，用向量法解決立幾問題，尤其是在求角和距離、判定空間直線與平面的位置關系方面的優勢也是非常明顯的，這里不再贅述.