排列組合應用題基本解法舉例

（蘭州市工業職業技工學校，甘肅蘭州730030）

〔關鍵詞〕 排列；組合；間接法；捆綁法；插空法；消序法

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2008）11（Ａ）—00５7—０1

雖然關于排列、組合的應用題是千變萬化的，但其解題思路卻離不開“分步相乘，分類相加，有序排列，無序組合”的原則.要熟練掌握解題技巧，我們還必須掌握處理排列、組合問題的一些基本技巧、方法.下面舉列說明.

1. 特殊位置法

例1：從10人中選3人站成一排，其中甲不站首位，共有多少種不同排法？

分析：首位是特殊位置，先排首位有A種排法，再排其余兩位有A種排法，分步相乘得AA=648.

2. 間接法

例2：有7人站成一排，其中甲不站首位，且乙不站末位，共有多少種不同排法？

分析：可用間接法得A-2A+A.其中甲站首位的方法有A種，乙站末位的方法有A種，包含甲站首位且乙站末位的情況有A種.

3. 捆綁法

例3：6件不同商品排成一排，其中甲、乙、丙3件商品一定要排在一起，共有多少種不同排法？

分析：先把甲、乙、丙捆綁起來當一個元素參加排列有A種排法，然后這3件商品內部再排列有A種排法.分步相乘得ＡA=144.

對于有相鄰要求的排列組合題，可用此法.

4. 插空法

例4：有5個男生和4個女生排成一排，其中女生不能相鄰，有多少種不同排法？

分析：第一步，先排5個男生有A種排法；第二步，5個男生之間（包括兩端）的6個空位中插入4個女生有A種排法.由分步相乘法得ＡA=43200.

5. 先選后排法

例5：從8個男生和4個女生中選3個男生2個女生，擔任5種不同的工作，有多少種方法？

分析：AA為錯解，因為漏掉了男、女生的混合排列.

正確解法用先選后排法，即先按要求選出5人有CC種方法，后進行排列有A種方法，由分步相乘法得CCA=40320.

6. 消序法

例6：有身高各不相同的10個人站成一排，要求甲、乙、丙3人從左邊順次一個比一個低（可以不相鄰），共有多少種不同排法？

分析：首先不考慮限制條件，共有A種不同排法；其次對甲、乙、丙3人的排列消序得：=604800，即共有604800種排法.

7. 平均分組法

例7：A、B、C、D、E、F 6人平均分成三組下棋，有多少種不同分法？

分析：CCC為錯解，其中有重復.如：6人中先選A、B為一組，再在剩余4人中選C、E為一組，最后剩余2人D、F為一組；6人中先選C、E為一組，再在剩余4人中選A、B為一組，最后剩余2人D、F為一組.以上兩種不同分法得到的結果是完全相同的，即A、B為一組，C、E為一組，D、F為一組.不難發現，錯解對這一種分法算了6次.

故易得，正確解法為=15.

8. 查字典法

例8：由0、1、2、3、4、5六個數字，可以組成多少個沒有重復數字且比324105大的六位數？

分析：從高位排查如下：

（1）查首位有4×××××、5×××××，故有2A個數；

（2）查前兩位有34××××、35××××，故有2A個數；

（3）查前三位有325×××，故有A個數；

（4）查前四位有3245××，故有A個數；

（5）查前五位有324150，故有1個數.

故共有：2Ａ＋2Ａ+Ａ＋Ａ＋1=297個數.