圓錐曲線定長弦的中點問題及推廣

〔關鍵詞〕 圓錐曲線；定長弦的中點；軌跡方程；

二次曲線

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2008）09（B）—0026—01

[題目]橢圓■+■=1中，過點P（1，1）的弦被點P平分，求此弦的長.

解：設過點P（1，1）的弦與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，有■+■=1，■+■=1，兩式相減得■（x1-x2）（x1+x2）+■（y1-y2）（y1+y2）=0.

∵P為AB的中點，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

∴■=-■=-■，∴kAB=-■，∴弦所在直線方程為x+2y-3=0.聯立橢圓與直線的方程■+■=1，x+2y-3=0.消去y得3x2-6x+1=0.設3x2-6x+1=0的兩根分別為x1，x2，即|AB|=■■=■·■=■.

此題用設而不求的方法使解法簡便易行.但是如果已知圓錐曲線方程，求弦長為定值的弦的中點的軌跡方程就感覺很難下手，也很難求解.下面就圓錐曲線的一般形式的定長弦的中點軌跡問題進行討論.

[推廣] 設圓錐曲線C： f（x，y） = Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0， P1（x1，y1）、 P2（x2，y2）為曲線C上的點， 且

|P1P2|=2l，求動弦P1P2的中點M（x，y）的軌跡方程.

解析： ∵ M是P1P2的中點，∴ x1+x2=2x， ①

y1+y2=2y.②

設直線P1P2的斜率為k，則y1-y2=k（x1-x2）. ③

由|P1P2|=2l得（x1-x2）2+（y1-y2）2=4l2 . ④

由③、④得（x1-x2）2=■， ⑤

（y1-y2）2=■. ⑥

由P1、P2是曲線C上的點得

f（x1，y1）=Ax12+Cy12+2Dx1+2Ey1+F=0，⑦

f（x2，y2）=Ax22+Cy22+2Dx2+2Ey2+F=0.⑧

將①、②、③式分別代入⑦-⑧中得到

k=-■，⑨

再將①、②、③、⑤、⑥式分別代入⑦+⑧中得

（1+k2）f（x，y）+（A+Ck2）·l2=0，⑩

再將⑨式代入⑩式，并經化簡可得到動弦P1P2的中點M的軌跡方程為[（Ax+D）2+（Cy+E）2+AC·l2]·f（x，y）+（AE2+CD2-ACF）·l2=0.因此，我們有如下的定理.

[定理1]已知圓錐曲線C： f（x，y） = Ax2+Cy2+ 2Dx+2Ey+F=0，P1、P2為曲線C上的點，且|P1P2|=2l，那么動弦P1P2的中點M的軌跡方程為[（Ax+D）2+（Cy+E）2+AC·l2]·f（x，y）+（AE2+CD2-ACF）·l2=0.

對定理1推廣到二次曲線得到如下定理.

[定理2]已知二次曲線C：f（x，y） = Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，P1、P2為曲線C上的點，且|P1P2|=2l，那么動弦P1P2的中點M的軌跡方程為[（Ax+By+D）2+（Bx+Cy+E）2 -（B2-AC）·l2 ]· f（x，y）+（AE2+CD2-2BDE+B2F-ACF）·l2=0.

例1已知橢圓方程為x2-2xy+3y2-2x-1=0，點M（1，1）為橢圓內一點，P1P2為以M為中心的橢圓的一條弦，求此弦長.

解:將A=1，B=-1，C=3，D=-1，E=0，F=-1，x=1，y=1代入式子[（Ax+By+D）2+（Bx+Cy+E）2-（B2-AC）·l2]·

f（x，y） +（AE2+CD2-2BDE+B2F-ACF）·l2=0中，得l=■，則可得|P1P2|=2l=2■.

例2已知二次曲線C：x2-xy+2y2-2x-y-1=0，試求曲線C中，弦長為定值2的動弦的中點的軌跡方程.

解：因為A=1， B=-■， C=2， D=-1，E=-■，F=-1，l=1，所以由定理2得到（5x2-12xy+17y2-6x-4y+12）·（x2-xy+2y2-2x-y-1）+18=0，這就是所求的軌跡方程.