例談一次函數(shù)圖象的應(yīng)用

〔關(guān)鍵詞〕 一次函數(shù)圖象；行程

問題；關(guān)系式

〔中圖分類號(hào)〕 G633.62

〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463

（2008）09（Ａ）—0061—０1

函數(shù)不僅是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)，而且也是中考的知識(shí)重點(diǎn).函數(shù)的應(yīng)用體現(xiàn)了新教材的思想，通過分析圖形以解決實(shí)際問題，涉及多方面的知識(shí)，需要學(xué)生有較好的理解能力.一次函數(shù)與二元一次方程有著密切的關(guān)系，如果學(xué)生在理解概念、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，分析圖形中一些量所表示的意義，以文字對(duì)照?qǐng)D形，解決問題就簡單多了.因此，教師應(yīng)該要求學(xué)生養(yǎng)成畫圖解題的習(xí)慣，一是為了直觀理解題目，二是為了方便分析解答，三是為了使解題過程清楚完整.下面就舉例說明.

例1現(xiàn)有一長為90米的游泳池，甲乙兩人分別從同岸開始向?qū)Π锻涤斡荆阎椎乃俣葹?米/秒，乙的速度為2米/秒，兩人往返游了12分鐘，問兩人共相遇了多少次？

分析：此題是一個(gè)行程問題的應(yīng)用題，如果我們用一次函數(shù)的圖象知識(shí)解決這個(gè)問題既形象又簡捷，加深了學(xué)生對(duì)一次函數(shù)圖象的理解.

解：寫出兩人距離y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式

y甲=x，y乙=2x.兩人往返時(shí)間為12×60=720秒.

同一直角坐標(biāo)系內(nèi)兩人路程與時(shí)間的圖象如圖1所示.從圖象可以看出，甲乙兩個(gè)圖象相交于A、B兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)表示它們的相遇次數(shù)，也就是甲乙兩人在120秒內(nèi)相遇了2次，那么720秒共相遇次數(shù)為2×720÷120=12次.

例2一次時(shí)裝表演會(huì)預(yù)算中票價(jià)定位每張100元，容納觀眾人數(shù)不超過2000人，毛利潤y（百元）關(guān)于觀眾人數(shù)x（百人）之間的函數(shù)圖象如圖2所示.當(dāng)觀眾人數(shù)超過1000人時(shí)，表演會(huì)組織者需向保險(xiǎn)公司交納定額平安保險(xiǎn)費(fèi)5000元（不列入成本費(fèi)用）.請(qǐng)解答下列問題：

（1）求當(dāng)觀眾人數(shù)不超過1000人時(shí)，毛利潤y（百元）關(guān)于觀眾人數(shù)x（百人）的函數(shù)解析式和成本費(fèi)用s（百元）關(guān)于觀眾人數(shù)x（百人）的函數(shù)解析式；

（2）若要使這次表演會(huì)獲得36000元的毛利潤，那么要售出多少張門票？需支付成本費(fèi)用多少元？（注：當(dāng)觀眾人數(shù)不超過1000人時(shí)，表演會(huì)的毛利潤=門票收入-成本費(fèi)用；當(dāng)觀眾人數(shù)超過1000人時(shí)，表演會(huì)的毛利潤=門票收入-成本費(fèi)用-平安保險(xiǎn)費(fèi)）

解：（1）由圖象可知：當(dāng)0≤x≤10時(shí)，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析為y=kx-100.

∵（10，400）在y=kx-100上，∴400=10k-100，解得k=50.

∴y=50x-100，s=100x-（50x-100），∴s=50x+100.

（2）當(dāng)10＜x≤20時(shí)，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=mx+b.

∵（10，350），（20，850）在y=mx+b上，

∴１０m+b=350，20m+b=850.解得m=50，b=-150.

∴y=50x-150，∴ s=100x-（50x-150）-50，∴ s=50x+100.

∴y=50x-100（0≤x≤10），50x-150（１０

令y=360，當(dāng)0≤x≤10時(shí)，50x-100=360，解得x=9.2，∴ s=50x+100=50×9.2+100=560；

當(dāng)10＜x≤20時(shí)，50x-150=360，解得x=10.2，

∴ s=50x+100=50×10.2+100=610.

因而，要使這次表演會(huì)獲得36000元的毛利潤，必須售出920張或1020張門票，相應(yīng)支付的成本費(fèi)用分別為56000元和61000元.

解析：此題先借助函數(shù)圖象確定函數(shù)關(guān)系式，然后對(duì)分段函數(shù)分情況討論，這是準(zhǔn)確、完整解決此題的關(guān)鍵.此題中還要進(jìn)行單位換算，這對(duì)解題也很重要.

由此可知，從圖象上可以看出所反映的實(shí)際問題的變化情況和發(fā)展趨勢(shì)，直觀簡潔，可以避免學(xué)生憑空想象帶來的曲意理解，便于正確理解.利用圖形解決數(shù)學(xué)問題不僅是為了方便，更為重要的是有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著非常重要的作用.當(dāng)然，一次函數(shù)圖象的應(yīng)用還有許多方面，還有待于我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)中進(jìn)行進(jìn)一步的探討.