談數(shù)學(xué)教學(xué)中抽象思維能力的培養(yǎng)

摘要：通過分析數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維能力的發(fā)展歷程，著重闡述了由具象思維向經(jīng)驗(yàn)型抽象思維的過渡及其對抽象思維能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；抽象思維；具象思維

數(shù)學(xué)的抽象性特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)思維的核心形式是抽象思維，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本問題就是抽象思維能力的培養(yǎng)問題。

有關(guān)數(shù)學(xué)思維的概述

思維是人對事物的間接的、概括的反映過程，是一種復(fù)雜的、高級的心理活動(dòng)。心理學(xué)家從不同的角度，根據(jù)不同的特征將其劃分為思維類型或思維形式。流行的一種劃分是：感知?jiǎng)幼魉季S、具體形象思維、抽象思維和辯證思維。這種劃分比較深刻地反映了人認(rèn)識(shí)事物的思維發(fā)展的階段性。

感知?jiǎng)幼魉季S是指在操作和感知過程中進(jìn)行的思維，感知的事物消失了，操作停止了，這種形式的思維也就中止了。

具體形象思維就是指離開感知和動(dòng)作而利用頭腦中所保留的事物形象所進(jìn)行的思維，其特點(diǎn)是思維對具體形象有依賴性。

抽象思維叫邏輯思維，就是指脫離開具體形象，動(dòng)用概念、判斷和推理等進(jìn)行的思維。它是在感性認(rèn)識(shí)所取得的材料的基礎(chǔ)上，運(yùn)用概念、判斷和推理等間接、概括、抽象地反映客觀事物，根據(jù)抽象的不同程度，抽象思維又分經(jīng)驗(yàn)型和理論型兩種。

辯證思維是指客觀的辯證規(guī)律在人們思維中的反映，是客觀事物發(fā)展過程的邏輯再現(xiàn)，它反映了概念、判斷、推理等靈活性、可變性和辯證矛盾的特性，是人類思維發(fā)展的高級階段，是一般思維形式的突破和發(fā)展。

面對同一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容，在不同的認(rèn)識(shí)階段，在處理它的思維形式上也各有不同，以乘法對加法的分配律為例：

小學(xué)算術(shù)中，只給出這一定律的概念：

（3＋7）×5=3×5+7×5

并通過驗(yàn)算加以說明。認(rèn)識(shí)依賴于操作。到初中一年級，進(jìn)入有理數(shù)范圍之后，定律表示為：（a+b）c=ac+bc

即通過大量的、各種不同類型的（正數(shù)、負(fù)數(shù)、零、整數(shù)、分?jǐn)?shù)）具體數(shù)字的驗(yàn)算獲得經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生承認(rèn)，它對a、b、c為任何有理數(shù)時(shí)都是成立的。這時(shí)定律的成立雖然仍依賴于一個(gè)個(gè)具體的數(shù)，但已有了經(jīng)驗(yàn)型抽象思維的特征：能不能證明它？怎樣證明它？思維敏捷的初中一、二年級的學(xué)生往往會(huì)提出這樣的問題。

在實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)集合里，定律雖呈現(xiàn)出同一的形態(tài)，但內(nèi)容更加豐富，而只有在“數(shù)論”中才能得到嚴(yán)格的證明，只有在抽象代數(shù)中才能使它脫離開具體的數(shù)而成立，從而達(dá)到理論抽象思維的水平。至于到集合論或邏輯代數(shù)中的表現(xiàn)形式分別為：

（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）

（A∨B）∧C=（A∧C）∨（B∧C）

其論證已具有辯證思維的特征了。

從傳授知識(shí)和開發(fā)智力的角度而言，在編排教材和選擇教法時(shí)，應(yīng)采取哪些思維形式呢？這要由學(xué)生的年齡特征和智力發(fā)展的階段而定。

由具體形象思維向經(jīng)驗(yàn)型抽象思維的過渡

斯脫利亞爾在他的《數(shù)學(xué)教育學(xué)》專著中提出了數(shù)學(xué)思維水平的學(xué)說，他指出：數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)乃是具有一定結(jié)構(gòu)的思維活動(dòng)，而數(shù)學(xué)活動(dòng)（即數(shù)學(xué)思維）有不同的水平，數(shù)學(xué)教育能夠，也應(yīng)該做到使學(xué)生循序漸進(jìn)地由數(shù)學(xué)活動(dòng)的一個(gè)水平向另一個(gè)更高的水平發(fā)展。

什么是思維水平？斯脫利亞爾只說是對所學(xué)材料的概括、抽象和嚴(yán)格論證的一定的水平和邏輯結(jié)構(gòu)，事實(shí)上就是抽象思維的水平，它依賴于數(shù)學(xué)的抽象水平。

對此，我國數(shù)學(xué)家徐利治教授提出了“數(shù)學(xué)抽象度”的學(xué)說，以抽象度要領(lǐng)反映數(shù)學(xué)抽象所具有的抽象層次。他舉出的一個(gè)數(shù)學(xué)抽象物鏈的例子說明了我們熟知的數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象程度（見圖1）：

其中“-”表示弱抽象，“＋”表示強(qiáng)抽象，C0為連續(xù)函數(shù)，C’為可微函數(shù)，I為黎曼可積函數(shù)，A為解析函數(shù)，從一類對象沿著箭頭前進(jìn)，則達(dá)到更加抽象的對象。一般說來，數(shù)學(xué)思維水平與一定的數(shù)學(xué)對象相聯(lián)系，就是說要掌握抽象度高的數(shù)學(xué)內(nèi)容，需要有較高的數(shù)學(xué)思維水平。或者說，對抽象度相同的一類數(shù)學(xué)內(nèi)容掌握的程度是與數(shù)學(xué)思維的水平相關(guān)的。在教學(xué)過程中，應(yīng)注意適時(shí)地過渡到較高的（下一個(gè)）思維水平。如從正負(fù)數(shù)概念、字母表數(shù)、整式的四則運(yùn)算到分式的基本性質(zhì)，都是實(shí)例驗(yàn)證的辦法，歸納導(dǎo)出的整個(gè)思路都只是說明它的存在和怎樣操作運(yùn)用，并未給予理論的說明，而當(dāng)引入同底冪乘法與乘方法則時(shí)，進(jìn)行了簡單的推導(dǎo)。

am·an=a……aa……a=aa…aa=am+n

本應(yīng)配以簡單的練習(xí)，繼續(xù)前進(jìn)，逐漸提高思維水平，但遺憾的是在驗(yàn)證同底冪除法法則時(shí)，又回到實(shí)例驗(yàn)證的方法，而失去一個(gè)提高思維水平的大好時(shí)機(jī)，為此，建議采用如下處理方法，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)：

理論型抽象思維能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)的抽象是經(jīng)過一系列的階段而產(chǎn)生、形成和發(fā)展的。事實(shí)上，對每一部分的數(shù)學(xué)內(nèi)容，如自然數(shù)——復(fù)數(shù)，平面幾何中點(diǎn)——圓，立體幾何中點(diǎn)、線、面、體——多面體和旋轉(zhuǎn)體都可構(gòu)造某種意義下的抽象物鏈，從而決定某一內(nèi)容的抽象度和抽象難度。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，思維能力和數(shù)學(xué)思維的水平也不例外，它是通過對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、掌握和運(yùn)用逐步形成和發(fā)展起來的。

由初二到高一這一階段所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容是相當(dāng)豐富的，不僅完成了數(shù)、式、函數(shù)的基本內(nèi)容，而且完成了平面幾何、立體幾何的學(xué)習(xí)。著眼于函數(shù)的抽象鏈如圖1。數(shù)與式的內(nèi)容構(gòu)造——抽象鏈如圖2所示。

由圖中我們不難看出“有理數(shù)”、“整式”是兩個(gè)交匯點(diǎn)，而“指數(shù)和對數(shù)——超越式”則是數(shù)式鏈的一個(gè)終端。因此可以說，正確迅速的運(yùn)算能力應(yīng)該是以有理數(shù)運(yùn)算（以及整式變式）為基礎(chǔ)，而以指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算為關(guān)鍵，因?yàn)橛捎欣頂?shù)的四則運(yùn)算到實(shí)數(shù)指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算，無疑是增加了抽象思維的水平。

再來看圖1，我們看到，“函數(shù)”是一個(gè)多重交匯點(diǎn)，因此，在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的過程中，這無疑是一塊重要的里程碑。由初二到高一這一段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生大體已經(jīng)完成了函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，從高二到高三，學(xué)生抽象思維水平繼續(xù)提高，由經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維逐步轉(zhuǎn)化，并由此而導(dǎo)向辯證思維的初步發(fā)展，這時(shí)，除了集合、映射、函數(shù)等數(shù)學(xué)內(nèi)容繼續(xù)起積極的作用外，不等式的證明、線性方程組與行列式理論、復(fù)數(shù)、排列組合、數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理、解析幾何、微積分與概率初步等內(nèi)容，以其豐富的數(shù)學(xué)方法、思維方式眾多的訓(xùn)練機(jī)會(huì)，使學(xué)生的抽象思維水平逐步提高，并初步進(jìn)入抽象思維的高級形態(tài)——辯證思維階段。

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作者簡介：

高學(xué)剛（1960—），男，安徽蚌埠人，安徽省淮南市動(dòng)力技工學(xué)校講師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)。