一網打盡

有這樣一些填數字題，往往是“答案不唯一”。好奇心特重的阮小七，特別想知道這“答案不唯一”是不是沒有辦法用算法推理出全部答案!

他打電話向胡子博士請教，得到這樣的答復：“不是的，只是我們在解答的時候，往往滿足子一種或者幾種答案，而把能夠將所有答案‘一網打盡’的機會放了過去。”

那如何才能得到一種算式的所有答案呢?

胡子博士以下面有這道算式為例，將它的答案一一推出。

00000÷0000=2

填入1至9，使之成為一道得2的除法等式。你能夠寫出所有符合條件的等式嗎?

阮小七問：“解答這樣的題目，用什么方法呢?”

“哈哈，我們稱它為推算法：邏輯+試驗!”

接著，博士向小七講解了這樣的題目的推理過程和方法：

5000×2=10000，所以除數的最高位上的數字必須大于等于5。而被除數的最高位上的數字只能是1……

可以從除數的最高位上的數字入手

(1)等于5。則后一位必須大干等于6(不能出現0)，將大于6的各數代入試試，發現這樣得出的被除數最高兩位將是11000，數字1重復了。故除數最高位不能是5，必須舍去。

(2)等于6。算式的基本形式為100000－6000=2，被除數的千位上的數字只能是2或3。假如為2，那么余下的數字要能夠寫成一個三位數是另一個三位數的2倍的形式，而數字3、4、5、7、8、9無法完成，故可以判斷被除數的干位上的數字只能為3。算式為13000÷6000=2，余下的數字為2、4、5、7、8、9，可以寫出1000÷000=2等式即可。可以找到1458÷729=2.1584÷792=2，P854÷927=2三種答案。所以，可以斷定有3種形式符合要求：

13458÷6729=2

13584÷6792=2

13854÷6927=2

(3)等于7。同樣的道理，被除數的千位上的數字只能是4或5。假如為4，基本形式為14000÷7000=2，那么余下的數字要能夠寫成一個三位數是另一個三位數的2倍的形式，而數字2、3、5、6、8、9可以完成三種形式，538÷269=2，586÷293=2，658÷329=2。可以寫出三種答案

14538÷7269=2

14586÷7293÷2

14658÷7329=2

被除數的千位上的數字為5。算式為15000÷7000=2，余下的數字為2、3、4、6、8、9，可以寫出1000÷000=2等式即可。可以找到1384÷692=2，1846÷923=2，1864÷932=2三種答案。所以，可以斷定又有3種形式符合要求；

15384÷7692=2

15846÷7923=2

15864÷7932=2

(4)等于8。被除數的千位上的數字只能是6或7。通過試驗，無解。

(5)等于9。被除數的千位上的數字只能是8。算式為18000÷9000=2，余下的數字為2、3、4、5、6、7，可以寫出1000÷000=2等式即可。可以找到1534÷267=2，1546÷273=2，1654÷327=2三種答案。所以，可以斷定有3種形式符合要求，

18534÷9267=2

18546÷9273=2

18654÷9327=2

博士吁了口氣：“以上12種答案就是本題的全部解。數學講究的正是嚴密的推理的仔細的計算。它是鍛煉人的邏輯思維的最好方法。”

一向對趣味算式著迷的阮小七，看得眼睛睜得大大的，嘴都合不攏了。