例談在小學數學解題中提高思維修養

數學教學過程中形成學生的數學思維是思維一般修養的重要組成部分，也是提高一般的科學理論思維水平的重要前提。思維修養除了科學理論性外，還有許多其他特性，其中很重要的是理性、邏輯性和紀律性。在小學數學解決問題的過程中，我們要有意識地注重培養、提高學生的思維修養。

一、經歷不同的思維活動，使思維理性化

理性是悟性基礎上的高級階段。理性思維是一種辯證思維，它是以聯系的、發展的、轉化的思維活動去認識和研究對象，是認識的高級階段。只有理性思維，才能認識對象的本質真相。在小學數學解題中，要有意識地引領學生經歷不同的思維活動，使其思維逐漸理性化。

(一)橫向聯系，認識對象

有些習題，如果引導學生觀察、尋找條件之間的聯系，或者此題與其他相關類型題目之間的聯系，學生會迸出思維的火花，循著快捷的路徑，收獲巧妙簡潔的解答方法。

例1 甲、乙兩隊合做一項工程，要4天完成?，F在甲隊做了3天，乙隊做了4天后，還剩下這項工程的3/16。如果由乙隊單獨完成這項工程，需要多少天?

粗看此題，是一道組合工程問題。不少學生正確組合、解答為：甲、乙兩隊合做3天，乙隊再做1天，還剩下這項工程的3/16。由“甲、乙兩隊合做一項工程，要4天完成”，可知甲、乙兩隊的工作效率之和為1/4，3天完成這項工程的1/4×3=3/4，1-3/4-3/16=1/16就是乙隊做1天的工作量，即乙隊的工作效率。最后，用工作總量除以工作效率就可求出乙隊單獨完成這項工程需要的天數：1÷1/16=16(天)。

“再看看已知條件間有沒有什么聯系，還有其他解法嗎?”稍一點撥，學生馬上又有了新的解答方法：“甲、乙兩隊合做一項工程，要4天完成”，說明甲隊做4天，乙隊也做4天，就可以完成總工作量“1”。“現在甲隊做了3天，乙隊做了4天”，甲隊少做了(4-3=1)天，因而就沒能完成總工作量，還剩下這項工程的3/16，這是由于甲隊少做1天造成的，所以甲隊的工作效率就是3/16。由“甲、乙兩隊合做一項工程，要4天完成”，可知甲、乙兩隊的工作效率之和為1/4，1/4-3/16=1/16即為乙隊的工作效率，1÷1/16=16(天)就是所求問題了。

學生們紛紛表示：因為發現了條件間的聯系，認清了對象，能更快地找到本質，這樣解決問題的方法就簡潔了；用聯系的眼光看問題，真是個好方法。

(二)著眼發展，追根究底

有些題目，順著事物的發展線索很難求解，引導學生從事物發展后的狀況入手，追根求源，反而能取得意想不到的效果。

例2 甲、乙、丙三人共有人民幣168元，第一次甲拿出與乙相同的錢數給乙；第二次乙拿出與丙相同的錢數給丙；第三次丙拿出與甲相同的錢數給甲。這樣，甲、乙、丙三人的錢數相等，原來甲比乙多多少元錢?

“如果解答有困難，不妨從事情發展的最終結果著手，倒過來推想。”學生思路順暢。

生1：事情發展到最后“甲、乙、丙三人的錢數相等”，已知“甲、乙、丙三人共有人民幣168元”，可求出現在甲、乙、丙三人各有168÷3=56(元)。一步一步倒過去推想：56÷2=28(元)，28+56=84(元)，84÷2=42(元)，丙原來有42元；42+56=98(元)，98÷2=49(元)，乙原來有49元；49+28=77(元)，甲原來有77元；77-49=28(元)，原來甲比乙多28元錢。

生2：根據題意，由最后甲的錢數是168÷3=56(元)可推出，第一次甲拿出與乙相同的錢數給乙后，甲剩下的錢是56÷2=28(元)，這28元就是原來甲比乙多的錢數。

(三)巧妙轉化，研究對象

有些題目，通過轉化的思維活動，可以更深入地、多角度地研究對象，開辟出多種解題途徑，順利完美地解決問題。

例3 園林綠化隊要栽一批樹苗，第一天栽了150棵，第二天栽了余下的3/8，這時已栽的棵數和沒栽的棵數相等。這批樹苗有多少棵?

生1：我是用方程來解答的。設這批樹苗有x棵。根據題意，列方程為x-150-(x-150)×3/8=150+(x-150)×3/8，解得x=750，所以這批樹苗有750棵。

生2：我運用了轉化的策略。根據題意“第二天栽了余下的3/8”，我將余下的看作單位“1”，兩天后，還剩余下1-3/8=5/8沒栽。由于“這時已栽的棵數和沒栽的棵數相等”，可將這時已栽的棵數轉化為余下的5/8，而第二天栽了余下的3/8，則第一天栽了余下的5/8-3/8=1/4。“第一天栽了150棵”，用150÷1/4=600(棵)就可求出余下的棵數，再用余下的棵數600加上已栽的150棵，就求出這批樹苗共有600+150=750(棵)。

生3：根據題意“第二天栽了余下的3/8”，我將余下的看作8份，第二天栽了其中的3份，還剩這樣的5份沒有栽。又因為“這時已栽的棵數和沒栽的棵數相等”，說明已經栽的也相當于這樣的5份，第二天栽了這樣的3份，則第一天栽了這樣的5-3=2(份)。2份是150棵，一份是150÷2=75(棵)，75×8=600(棵)就是栽了1天后余下的，600+150=750(棵)就是這批樹苗的總棵數。

在轉化的思維活動中，學生進一步認識了對象，更深入地研究了對象，正確巧妙地解決了問題。

二、交流不同的思維過程，使思維邏輯化

思維的邏輯性是思維修養的重要內容之一，沒有它，就不可能達到思維的合理性。人的思維只有當它完全按照邏輯法則進行時，才可以被認為是有修養的。在解題中注意學生思維活動的過程，培養他們的表述能力(口頭與書面)，通過交流互相學習、互相完善，使思維邏輯化。

例4 輪船從甲地到乙地順水航行，每小時行25千米，從乙地到甲地逆水航行，每小時行15千米，往返一次共6小時。求甲、乙兩地的路程。

首先，讓學生各自練習，然后交流思維過程。

生1：我設甲、乙兩地的路程為x千米，則輪船從甲地到乙地的時間為x/25小時，從乙地到甲地的時間為x/15小時。根據“往返一次共6小時”，可列方程為x/25+x/15

=6，解得x=56.25，即甲、乙兩地的路程為56.25千米。

生2：我設輪船從甲地到乙地航行了x小時，則從乙地到甲地航行了(6-x)小時。再根據往返所行路程相等，可列方程為25x=15(6-x)，解得x=2.25，即輪船從甲地到乙地航行了2.25小時。再用25×2.25=56.25(千米)就可求出輪船從甲地到乙地航行的路程，也就是甲、乙兩地的路程。

生3：我設輪船從乙地到甲地航行了x小時，則從甲地到乙地航行了(6-x)小時。再根據往返所行路程相等，可列方程為15x=25(6-x)，解得x=3.75，即輪船從乙地到甲地航行了3.75小時。再用15×3.75=56.25(千米)就求出輪船從乙地到甲地航行的路程，也就是甲、乙兩地的路程。

交流的過程中，可指出他人思維的差錯和缺點，也可進行糾正與補充。交流的過程，是模仿與學習的過程，不斷地完善和提高。

三、回顧修正思維歷程，使思維紀律化

有修養的思維是在一定的嚴格系統中，完全按照要解決的思維任務的特性，運用各種不同的思維方式和方法來進行的一種思維。這就對思維提出了紀律性要求。在解題的過程中，注意引領學生分析思維的對象；在分析的基礎上，計劃自己的思維活動；對完成的活動，分步進行自我檢查、評價，以查明是否符合擬定的計劃，并在必要時修正計劃。

例5 一個長方形的周長是30厘米，長與寬的比是3∶2，這個長方形的面積是多少平方厘米?

解答此題時，我要求學生按這樣的步驟實施：

(1)分析。

生1：要求這個長方形的面積是多少平方厘米，最好知道這個長方形的長和寬各是多少。根據已知條件“一個長方形的周長是30厘米，長與寬的比是3∶2”，可用按比例分配的知識求出長方形的長和寬，再用長乘寬求出長方形的面積。

(2)制定計劃，即說(寫)出解答計劃。

生2：先求出長方形的長是多少厘米，30÷2=15(厘米)，15×3/(3+2)=9(厘米)；再求出長方形的寬是多少厘米，15×2/(3+2)=6(厘米)，最后求出面積。

(3)對已完成的活動進行自我檢查、修正(針對學生“容易將30厘米按3∶2的比例進行分配”這一現象提出)。

生3：對已求出結果進行檢驗。因為(9+6)×2=30(厘米)，9∶6=3∶2，結果與已知條件相符，說明求出的長9厘米、寬6厘米是正確的。

如果學生用30×3/(3+2)=18(厘米)求出長方形的長，用30×2/(3+2)=12(厘米)求出長方形的寬，在本環節的檢驗中會發現：(18+12)×2=60(厘米)與已知條件不符。因而及時尋找錯誤原因，對原計劃進行修正。

(4)繼續求解。

生4：9×6=54(平方厘米)，求得這個長方形的面積是54平方厘米。

培養學生對自己的思維過程、智力活動進行自我檢查和自我評價的愿望與習慣，使他們的思維紀律化。