委托－代理理論分析框架下的保險最優合同設計

摘要：本文分別針對保險人與投保人之間信息對稱和存在道德風險的兩種情況，使用委托－代理理論分析框架，建立了相應的保險合同分析模型，對各情況下的最優保險合同的性質進行了研究。通過建模求解分別得出了在各自情況下如何設計保險合同，可以使雙方達到帕累托最優的風險分擔。

關鍵詞：委托－代理理論；道德風險；最優合同設計；

一、引言

1.問題的提出

理論上來說，委托－代理問題的產生是由于委托人和代理人的效用函數經常不一致。就保險合同來說，保險合同一旦成立后，保險人對保險標的的監督成本很高，或者根本沒有辦法監督。保險事故實際上并不完全是由外生的隨機因素決定的，并且還受投保人在購買保險以后的行為的影響，即投保人的行為還將改變風險狀況(損失概率)。產生了在委托代理的成本（Agency Costs），委托代理雙方的目標函數不一致，相關信息在雙方之間的分布不對稱，投保人有其自身獨立的經濟利益，有可能在追求自身利益最大化的過程損害保險人的權益，如果投保人對其約束不力，從而會產生一些損人利己的“違約”和敗德行為。在保險人不能監督投保人的行動的前提下，一方面，投保人付出努力會對他產生直接的負效用，而其潛在的積極影響是可能會避免損失的發生或減少損失的大小。但是，由投保人努力所導致的積極影響并不會由投保人獨享，而是和保險人共享的。所以投保人就會有節省努力的需求。另一方面，保險公司提供保險服務，是對施加于投保人身上的不可控制又不可確知的外生風險所造成的損失提供物資補償。從某種意義上來說，就等于人為地使風險發生的可能性變大，從而使賠付事件發生的可能性增大。所以保險公司就會激勵投保人在投保后仍然不放松對所保事件的防范措施。

本文主要討論委托人在與代理人簽訂合同時，在信息不對稱條件下，委托人以能夠觀察到的結果為基礎，對代理人提供激勵，即通過設計一份激勵合同以誘使代理人在給定的自然狀態下做出對委托人最有利的選擇。即可以采取適當的激勵與約束機制使得委托代理雙方互惠互利、彼此制衡。

2.文獻綜述

進入20世紀70年代以后，由于科斯的產權理論和威廉姆森等人的交易費用理論的發展，信息經濟學和合同理論在微觀經濟學領域的突破，始于科斯、伯利、米恩斯的現代企業委托－代理理論。其主要結論包括：

（1）解決代理問題的顯性激勵方法

由威爾森（1969）、羅斯（1973）、米爾利斯（1974）、霍姆斯特姆（1979）以及格羅斯曼和哈特（1983）等人開創的委托－代理理論和應用模型分析，主要解決委托－代理關系中存在的信息不對稱問題。他們根據信息不對稱理論研究提出激勵措施是在委托人于與代理人之間按一定的合同財產剩余索取權的分配，將剩余分配與經營績效掛鉤，這是目前絕大多數兩全分離的公司實行激勵經理努力的方法，不同的只是剩余索取權的分配比例。1972年，阿爾欽和德姆塞茨提出的團隊理論，認為企業采取團隊模式進行生產使得每一個成員的努力程度不可能精確度量，這會導致人們“搭便車”式的機會主義行為產生。為此需要設立監督者，并以剩余索取權對監督者進行激勵，這將企業的交易費用從企業外部的市場交易領域擴展到企業內部的現代成本領域。1976年，詹森和麥克林在《公司理論：管理行為、代理成本和資本結構》一文中用“代理成本”的概念，提出了與上述交易費用理論相類似的觀點，認為“代理成本”是企業所有權結構的決定因素，讓經營者成為完全剩余索取權的擁有者，可以降低甚至消除代理成本。因此，越來越多的學者，包括夏皮羅和斯蒂格利茨（1984）以及布盧（1985），仍強調監督的重要性，霍姆斯拉姆和蒂羅爾在《企業理論》（1982）一文的綜述中進一步強調了剩余所有權在解決企業激勵問題上的重要性。

（2）解決代理問題的隱性激勵方法

20世紀80年代末，經濟學將動態博弈理論引入委托－代理關系的研究中，論證了在多次重復博弈代理關系情況下，競爭、聲譽等隱性激勵機制能夠發揮激勵代理人的作用，充實了長期委托－代理關系中激勵理論的內容。法瑪（1980）的研究是其代表，他的觀點是：在競爭性經理市場上，經理的市場價值決定于其過去的經營業績，從長期來看，經理必須對自己的行為負完全的責任。因此，即使沒有顯性激勵合同，經理也會積極性努力工作，因為這樣做可以改進自己在經理市場上的聲譽，從而提高未來的收入。霍姆斯特姆（1982）將上述思想模型化，并形成代理人－聲譽模型。倫納德（1981）和魯賓斯坦（1982）使用重復博弈模型證明，如果委托人和代理人之間保持長久的關系，雙方都有足夠的耐心（貼現因子足夠大），那么帕累托一級最優風險分擔和激勵就可以實現。

3.主要結論

本文使用委托-代理理論建立了相應的保險合同分析模型，對信息對稱和存在道德風險兩種情況下的最優保險合同的性質進行了研究。首先證明了信息對稱時，最優保險合同要求完全保險，從而可以達到帕累托最優的風險分擔，而且此時最優保險費等于意外事件造成損失的期望值。針對投保人的行為影響所保事件發生，但不影響損失大小的情況，存在道德風險時，出于激勵的目的，最優保險合同要求只提供部分保險，最優保險費小于意外事件造成的期望損失，而且隨著意外事件造成損失的增大，投保人所遭受的實際損失也應該增大。在兩種情況下，最優保險費都與投保財產成反比。

二、正文

1.不存在道德風險時的最優保險合同設計

以下分析中，將代理人替換為投保人，而將委托人替換為保險人。在這里使用基于“分布函數的參數化方法”的委托-代理模型。

假設投保人的初始財富為w0，意外事件所造成的損失為x，x為一個隨機變量。因為這里考慮投保人的行動只影響所保事件發生的概率，所以可以假設意外事件不發生時的概率為1-p(a)，而意外事件發生并造成損失為x的概率為p(a)f(x)。顯然投保人付出的努力越多，意外事件發生的概率就越小，即p′(a)＜0。

保險費率為δ，保險金額為π，即投保人應向保險人支付的保險費為δπ；如果意外事件發生（x＞0），承保人向投保人支付的賠償費為g(x)滿足以下關系：

g(x)=x，稱為完全保險；

＜x，稱為這完全保險；

=0，稱為在免賠額以下；

a)如果g(x)=x，則稱為完全保險，即投保人發生的屬于保險責任事故范圍內的損失，保險人全額賠付；

b)如果g(x)＜x，則稱為不完全保險（部分保險），其中x-g(x)稱為免賠額或者自負額（Deductible），記為D。

c)如果g(x)=0，則稱為投保人發生的損失在免賠額以下，即：x＜D。

代理人的效用函數為u，且代理人為風險厭惡的，即u′＞0而u″＜0。委托人為風險中性，因此可以假設委托人的效用函數為線性的。

鑒于上述的假設，我們可以建立如下的基于委托-代理理論的最優保險合同模型：

maxg(x)，δf(0)u(w0-δπ)+∫x＞0u(w0+g(x)-x-δπ)f(x)dx（1.1）

s.t.δπ-∫x＞0g(x)f(x)dx≥0（1.2）

進一步，我們假設保險市場是完全競爭的，即競爭使得保險公司不能從保險活動中賺取超額利潤，則上述最優化問題中約束條件，即（1.2）中的等號成立。

顯然，以上的最優化問題中并沒有考慮一般委托-代理模型中的代理人參與約束，這是因為模型中已經確保在滿足保險人的參與約束的情況下，最大化投保人參加保險后的期望效用。如果投保人按照此合同（即保險人的利潤為零）得到的參保后的期望效用水平仍然不能高于（至少等于）他不參保時的期望效用，那就說明此類風險是不可保的。眾所周知，生活中確實存在不可保險的風險情況，如一些巨災風險，戰爭風險等。另外不可避免的道德風險，造成保險人的監督成本極高，極可能就是造成風險不可保的直接原因。因此，以上模型實際上已經在可保風險的范圍內涵蓋了投保人的參與約束。

針對以上的最優化問題，可以構造如下的拉格郎日函數：

L(g(x)，δ)=f(0)u(w0-δπ)+∫x＞0u(w0+g(x)-x-δπ)f(x)dx+λ[δπ-∫x＞0g(x)f(x)dx]（1.3）

為方便起見，令v1=w0-δπ，v2=w0+g(x)-x-δπ，對于保險賠付金額g(x)的一階條件為：

u′(v2)-λ=0（1.4）

對于保險費率δ的一階條件為：

f(0)u′(v1)+∫x＞0u′(v2)f(x)dx=λ(1.5)

根據庫恩—塔克條件可知為一個正的常數（因為約束條件的等號成立），由(1.4)式顯然可得帕累托最優的風險分擔。將(1.4)式代入(1.5)式可得：u′(v1)-λ=0，因為λ是個正的常數，顯然有v1=v2，且為一常數，即可得：

g(x)-x=0（1.6）

將（1.6）代入約束條件就有：

δπ=E(x)，即δ=E(x)π

根據以上證明過程可以推知：在沒有道德風險的情況下，最優保險合同可以實現風險分擔的帕累托最優，投保后如果所保意外事件發生，則投保人所遭受的實際損失g(x)-x與x無關，而且最優合同要求完全保險；最優保險費δπ等于所受損失的期望值E(x)。

從上面的分析可見，由于委托人的風險態度為中性的，投保人應付給保險公司的保險費恰好等于損失變量的期望值。顯然上述最優合同達到了帕累托最優的風險分擔。而投保人應支付給承保方的保險費率δ，E(x)的嚴格單調遞增函數，也就是可能遭受損失的期望值越大，保險費率越高；而與總保險財產成反比，總保險財產越大，保險費率則越低。

2.存在道德風險情況下的最優保險合同設計

在上述不存在道德風險最優保險合同模型中，加入投保人的一個行動，即該行動將會對投保人所投保的風險發生事故的概率產生影響。用A表示投保人所有可選擇的行動的組合，a表示代理人的一個特定行動，并且有a∈A。理論上講，行動可a以是任何維的決策向量，但為了分析的方便，我們假定a是代表防范行動水平的一維變量，即投保人在向保險人投保之后，對保險標的所進行的看護、照管以及所有使保險標的發生保險事故概率降低的防范努力。c(a)為投保人的防范努力負效用，這里假設c(a)為效用化成本，且有c′＞0，c″＞0。

在以上的假設條件下，可以建立存在道德風險情況下的最優保險模型：

maxδ，g(x)，a[1-p(a)]u(w0-δπ)+p(a)∫x＞0u(w0+g(x)-x-δπ)f(x)dx-c(a)（2.1）

s.t.δπ-p(a)∫x＞0g(x)f(x)dx≥0（2.2）

maxa[1-p(a)]u(w0-δπ)+p(a)∫x＞0u(w0+g(x)-x-δπ)f(x)dx-c(a)（2.3）

進一步，我們仍然假設保險市場是完全競爭的，即競爭使得保險公司不能從保險活動中賺取超額利潤，則上述最優化問題中約束條件，即（2.2）中的等號成立。

顯然，以上的最優化問題中同樣沒有考慮一般委托-代理模型中的代理人參與約束，同理，這是因為模型中已經確保在滿足保險人的參與約束的情況下，最大化投保人參加保險后的期望效用。如果投保人按照此合同（即保險人的利潤為零）得到的參保后的期望效用水平仍然不能高于（至少等于）他不參保時的期望效用，因此，以上模型實際上已經在可保風險的范圍內涵蓋了投保人的參與約束。

我們可以用一階條件來表示如上模型中第二個約束條件（2.3），即代理人的激勵相容約束條件：

-p′(a)u(w0-δπ)+p′(a)∫x＞0u(w0+g(x)-x-δπ)f(x)dx=c′(a)（2.4）

因此，保險合同可以化為由（2.1）、（2.2）和（2.4）式組成的最優化問題，（2.1）式為目標函數，（2.2）式和（2.4）式為約束條件。對以上問題構造拉格朗日函數，為了簡便，令v1=w0-δπ，v2=w0+g(x)-x-δπ有：

L(g(x)，δ，a)=[1-p(a)]u(v1)+p(a)∫x＞0u(v2)f(x)dx-c(a)+λ[δπ-p(a)∫x＞0g(x)f(x)dx]+μ[-p′(a)u(v1)+p′(a)∫x＞0u(v2)f(x)dx-c′(a)]（2.5）

對于賠償方案g(x)的一階條件為：

u′(v2)p(a)-λp(a)+μu′(v2)p′(a)=0（2.6）

引理:以上最優化問題中第二個約束條件的拉格朗日乘子μ＞0。

證明:由（5）式可得對代理人行動a的一階條件為：

λp′(a)∫x＞0g(x)f(x)dx+μ[-p″(a)∫x＞0u(v2)f(x)dx-c″(a)]=0（2.7）

上式隱含地給出了參數μ的定義，方括號內的表達式是代理人

（投保人）激勵相容約束的二階條件，因此肯定小于。而根據假設x＞0時，g(x)＞0，p′＜0，所以上式左邊第一項大于，故而有μ＞0。證畢

故（2.6）其中為正的常數，且μ不能為，否則激勵相容約束將不起作用。顯然有：

u′(v2)=λp(a)p(a)+μp′(a)=λ1+μp′(a)p(a)（2.8）

定理:在投保人的行為只影響所保事件發生概率的情況下，最優保險合同要求部分保險，但投保后如果所保意外事件發生，則投保人所遭受的實際損失g(x)-x與x無關，可以達到帕累托最優的風險分擔。

證明:最優賠償方案表達式（2.8）式右邊是一個與損失x無關的常數，顯然v2也是與x無關的，投保人所承受的損失g(x)-x也與x無關，即風險厭惡的投保人只承擔固定的損失，投保事件造成損失的不確定性全部由風險中性的承保方承擔，所以達到了帕累托最優的風險分擔。

另外，由（2.5）式可得對于保險費率δ的一階條件為：

-(1-p(a))u′(v1)-p(a)∫x＞0u′(v2)f(x)dx+μ[p′(a)u′(v1)-p′(a)∫x＞0u′(v2)f(x)dx]+λ=0

將（2.8）式代入上式，可得：

u′(v1)=λ(1-p(a))1-p(a)-μp′(a)=λ1-μp′(a)(1-p(a))（2.9）

由上式可見等式右邊是一個與x無關的常數，故而保險費δπ也是與x無關的常數，可寫作δπ=k，即保險費率與總保險財產成反比。由于μ＞0，p′(a)＜0，比較（2.8）式和（2.9）式可得：u′(v1)＜u′(v2)，而根據投保人風險厭惡（u″＜0）的假設，可知v2＜v1，即g(x)-x＜0，所以最優保險合同要求部分保險。證畢

三、結論

本文就信息對稱與存在道德風險的情況，應用委托—代理理論建立了一種保險產品設計的模型。在信息對稱情況下，當保險人為風險中性，被保險人為風險回避型時，最優保險合同是帕累托最優風險分擔的，且此時的保單是完全保險形式，損失受到全部賠付。在信息不對稱的情況下，且投保人是絕對風險回避時，因為投保人存在道德風險，最優保單不能達到帕累托最優的風險分擔，因而在保單設計時必須考慮對被保險人的激勵問題。當保險人為風險中性，被保險人為風險回避型時，討論了最優保單應具有的特征與性質。這時特別要求保險產品必須具有對被保險人的道德風險進行激勵的功能與機制。隨著我國保險業對外的全面開放，本文的結論，可以為廣泛開展各類保險業務提供理論依據。

參考資料:

[1]B. Holmstorm P. Milgrom (1991）， “Principal-agent analyses: Incentive contracts， asset ownership and job design”， J. Law， Economics Organization.

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[5]Holmstrom B. (1979)， “Moral hazard and observability”. The Bell Journal of Economics， (1):74-91.

[6]S. Grossman O. Hart (1983)， “An analysis of the principal-agent problem”， Econometrica 51.

[7]Winter R. “Moral Hazard and Insurance Contracts”. In Contributions to Insurance Economics [C]，1991: 61-96.

（作者單位：華南師范大學經濟管理學院）

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