用ＳＤＰ研究歐式看漲期權的定價問題

一、引言

給定標的資產的信息，研究這個標的資產的衍生證券的價格是經濟研究的一個核心問題，假定標的資產遵循布朗運動，運用無套利理論，Black-Scholes公式給了我們一個非常明確的答案，這時候也會產生一個問題，對于標的資產價格變動不做任何假設的話，僅僅使用無套利理論，那么：已知標的資產的K個時刻的價格，由此得出衍生證券一般收益函數，問這個衍生證券價格的最可能的最好的界是多少？

Cox和Ross以及Harrison，Krep曾經證明無套利假設就相當于存在一個可能的分布使得期權價格在分布作用下加倍。由此我們可以構造一個模型。令任意歐式看漲期權的執行價格為k，標的資產的價格為X，則這個看漲期權的價格為：q(k)=Eπ[max(0，X-k)]，其中Eπ[X]=μ，Varπ[X]=σ2，不失一般性的，這個模型可以推廣為：

max/minEπ[(x)]

Subject to，Eπ[fi(x)]=qi，i=0，…，n

π(x)≥0 x∈Rm+

其中f0(x)=1，q0=Eπ[f0(x)]=1∫∞0π(x)dx=1，

二、具體模型

已知標的資產n個瞬時時刻（q1，q2，…qn）(q0=1的價格，標的資產的期權收益函數為(x)，需找出這個期權價格的最可能的最好的界值。以看漲期權為例。

（一）依據半正定方法求出的界值

設歐式看漲期權的執行價格為k，我們通過解決如下問題從而得到這個看漲期權價格的一個最好的上界。

maximizeEπ[max(0，X-k)]=∫∞0max(0，x-k)π(x)dx

subjecttoEπ[Xi]=∫∞0xiπ(x)dx=qi i=0，…，n(1)

π(x)≥0

根據線性規劃理論，設y=(y0，y1，…，yn是問題（1）中的各個約束條件的對偶隨機矢量，我們可以得到（1）的對偶形式:

Minimize ∑nr=0yiqi

Subjectto∑nr=0yrxr≥max(0，x-k) x∈R+(2)

根據強對偶理論，問題（1）的解析值與問題（2）的值相等。這樣以來，通過解決問題(2)就能得到我們所期望的一個精確的上界，接下來，將證明問題（1）可以轉化為半正定最優化問題求解，而半正定最優化問題的求解無論是從理論還是實踐我們都有很好的求解方法。

首先引出一些命題。

命題a多項式g(x)=∑2kr=0yrxr滿足g(x)≥0當且僅當存在一個半正定矩陣，使得，X=[Xij]i，j=0，…k，使得yr=∑i，j∶i+j=rxij，r=0，…2k， x≥0（3）

命題 b多項式g(x)=∑nr=0yrxr滿足g(x)≥0，對于所有的x∈[0，a]都成立，當且僅當存在一個半正定矩陣X=[xij]i，j=0，…，n，使得

0=∑i，j∶i+j=2l-1xij，l=1，…，n

∑lr=0yrk-rl-rar=∑i，j∶i+j=2lxij，x≥0 l-0，…n（4）

命題c多項式g(x)=∑nr=0yrxr滿足g(x)≥0，對于所有的x∈[a，∞]都成立，當且僅當存在一個半正定矩陣X=[Xij]i，j=0，…n，使得

0=∑i，j∶i+j=2l-1xij l=1，…n

∑kr=lyrrlar=∑i，j∶i+j=2lxij，x≥0 l=0，…n（5）

命題d多項式g(x)=∑kr=0yrxr滿足g(x)≥0，對于所有的x∈[a，b]都成立，當且僅當存在一個半正定矩陣X=[xij]i，j=0，…n，使得

0=∑i，j∶i+j=2l-1xij l=1，…n

∑lm=0，∑k+m-lr=myrrmk-rl-mar-mbm=∑i，j∶i+j=2lxij，x≥0 l-0，…n（6）

下面的定理將證明問題（1）可以轉為半正定最優化的問題，通過解決最優化的問題而得到問題（1）的解。

定理1 給定標的資產股票的n個瞬時(q1，……，qn)的價格，q0=1，這個股票的歐式看漲期權的執行價格為k，則這個期權的最好的上界可以通過解決下面的半正定最優化問題而得到。

Minimize ∑nr=0yiqi

Subject to 0=∑i，j∶i+j=2l-1xij，l=1，…n

∑lr=0yrk-rl-rkr=∑i，j∶i+j=2lxij l=0，…n

0=∑i，j∶i+j=2l-1zij l=1，…n

(y0+k)+(y1-1)k+∑kr=2yrkr=z00(7)

(y1-1)k+∑kr=2yrrkr=∑i，j∶i+j=2zij

∑kr=lyrrlkr=∑i，j∶i+j=2lzij l=2，…n

證明：記問題（2）的可行性區域為：

∑nr=0yrxr≥0 for all x∈[0，k]

(y0+k)+(y1-1)x+∑nr=2yrkr≥0 for all x∈[k，∞]

應用命題b，c我們又可以把問題（2）轉為半正定最優化問題（7）。

考慮一個期權的收益函數如下：

(x)=0(x)，x∈[0，k1]

1(x)，x∈[k1，k2]



d-1(x)，x∈[kd-1，kd]

d(x)，x∈[kd，∞]（8）

其中收益函數r(x)，r=0，1，…d是多項式，不失一般性的，任何期權的收益都可以用（8）來逼近，在這種情況下，對偶問題將轉化為如下：

Minimize ∑nr=0yiqi

Subjectto∑nr=0∑nr=0yrxr≥0(x)，x∈[0，k1]

1(x)，x∈[k1，k2]



d-1(x)，x∈[kd-1，kd]

d(x)，x∈[kd，∞]（9）

下面的定理將表明半正定最優化的辦法無論是理論上還是實踐上都是最有效的。

定理2 給定標的資產的某些瞬時值，令期權的分段多項式收益函數為(x)如（8），那么它的最好的最有可能的上界可以通過解決一個半正定最優化的問題而得到。

問題（9）的約束集可以表示為：

∑nr=0yrxr≥i(x) x∈[ki-1，ki]，i=1，…，d+1

其中k0=0，kd+1=∞，令i(x)=∑r=0，…，miairxr，不失一般性的假設mi≤n，那么問題（9）的約束集可以記為:∑mir=0(yr-air)+∑nr=mi+1yrxr≥0，x∈[ki-1，ki]， i=1，…，d+1

對于間隔[k0，k1]應用命題b，[ki-1，ki] ， i=2，…d應用命題d，[kd，∞)應用命題c，則問題（9）可以轉化為一個半正定的最優化的問題。

（二）期權最優上界

定理3（期權最優上界）一個已知到期價的股票的均值為μ，方差為σ2，股票期權的執行價格為k，則這個期權的最優上界可以通過以下算法得到：

maxx-(μ，σ2)E[max(0，X-k]=12(μ-k)+σ2+(μ-k)2，k≥μ2+σ22uμ-k+kσ2μ2+σ2，kμ2+σ22u

證明：在前面的問題（2）中我們已經給出了算法，下面我們可以得到它的對偶形式：

minimize(μ2+σ2)y2+μy1+y0

Subjecttog(x)=y2x2+y1x+y0≥max(0，x-k)，x≥0

由g(x)的表達式可以看出g(x)非負，我們可以令g(x)-(x-k)=a(x-b)2，其中a≥0，則a(x-b)2+x-k≥0，x≥0令x0=b-12a為這個二次函數的最小值，無論x0是正還是負，無論這個不等式在x=x0還是x=0取得最大值，我們可以得到兩種情形

（a）如果b≥12a，則-14a+b-k=0（x=x0）

把a=14(b-k)代入目標函數，我們可以得到：

maxx-(μ，σ2)+E[max(0，X-k)]\\minb((μ-k)+(b-k))2+σ24(b-k)

=12(μ-k)+σ2+(μ-k)2

令a0=14(b0-k)，則b0=μ2+σ2μ

當b0≥12a0=2(b0-k)，即μ2+σ22u≤k，則這個界是有效的。

(b) 如果b12a，則ab2-k=0(x=0)

把a=kb2代入目標函數，我們可以得到：

maxx~(μ，σ2)+E[max(0，X-k]=minbkb2(μ2+σ2)-2kbμ+μ=μ-kμ2μ2+σ2

令a0=kb20，則b0=μ2+σ2μ，對于任意的b012a0=b202k，即μ2+σ22μk，這個界都是有效的。

三、結論

我們根據上述有效的算法（包含多期）即：單一的半正定最優化方式來解決了股票期權上界的問題，從而建立了一個意外的聯系，即：經濟與半正定最優化算法的關系，揭示了股票價格變化與股票期權的關系。

（作者單位： 武漢理工大學理學院）

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