Ｍｅｒｔｏｎ模型對沖投資組合的存在性研究

一、模型簡介

Merton提出了下面的股票價格模型

dStSt-=(θ-λμ)dt+σdWt+d(∑Nti=1(eXt-1))(1)

這里θ，σ，λ，μ均為常數，其中θ為股票的期望收益率，σ為無跳情形下股票波動率，μ為股票價格的預期跳躍百分比，即μ=E(eX-1)，Nt為強度λ的Poisson過程，λ也即瞬時發生率。令

Yt=∑Nti=1(eXi-1)，Ji=eXi-1，i=1，2，……(2)

則Yt為復合Poisson過程，這里要求J1，J2，……獨立同分布，Xi∈(-∞，+∞)，且與Poisson過程Nt獨立，另外，模型（1）還要求Yt與布朗運動Wt相互獨立。

命題1. 設dX(t)=u(t)dt+θ(t)dW(t)+v(t)dY(t)為半鞅，其中Yt=∑Nti=1Ji；u(t)，θ(t)為Ft適應過程，v(t)為Ft可料過程。則

f(X(t))-f(X(0))=∫t0[f′(X(s-))u(s)+12f″(X(s-))θ2(s)ds+∫t0f′(X(s-))θ(s)·dW(s)+∫t0[f(X(s))-f(X(s-))]dN(s)].

證明：設τ1＜τ2＜…＜τn＜…是N(t)的跳躍時間，則由半鞅It公式得

f(X(t))-f(X(0))=∫t0f′X(s-))dX(s)+12∫t0f″(X(s-))d＜X，X＞c(s)+∑0＜s≤t{f(X(s))-f(X(s-))-f′(X(s-))ΔX(s)}

令X(t)=A(t)+B(t)，使得

dA(t)=u(t)dt+θ(t)dW(t)，dB(t)=v(t)dY(t)

則(t)=(t)+(t)=[A，A](t)+(t)

(t)=<∫0v(s)dY(s)，∫0v(s)dY(s)>9t)=∫t0v2(s)d(s)

由于Yt=∑Nti=1Ji為有限變差半鞅，因此c=0

dc(s)=d[A，A]c(s)+v2(s)dc(s)=θ2(s)ds

f(X(t))-f(X(0))=∫t0f′(X(s-))dX(s)+12∫t0f″(X(s-))θ2(s)ds+∑N(t)i=1[f(X(τi))-f(X(τi-))]-∑N(t)i=1f′(X(τi-))[X(τi)-X(τi-]

=∫t0f′(X(s-)dX(s)+12∫t0f″(X(s-))θ2(s)ds+∫t0[f(X(s))-f(X(s-))]dN(s)-∫t0f′(X(s-))[X(s)-X(s-)]dN(s)]

=∫t0f′(X(s-))u(s)ds+∫t0f′(X(s-))θ(s)dW(s)+12∫t0f″(X(s-))θ2(s)ds+∫t0[f(X(s))-f(X(s-))]dN(s)

根據這個命題，我們可以求得股票價格過程St的表達式。事實上，由(1)可得

dlnSt=[(θ-λμ)-12σ2]dt+σdWt+lnStSt-dNt

lnStS0=[(θ-λμ)-12σ2]t+σWt+∑Nti=1Xi

因此St=S0exp{[θ-λμ)-12σ2]t-σWt}∏Nti=1eXi（3）

命題2.令Zm(t)=∏Nti=1Jmi，J1，J2，……獨立同分布于J，且與強度為λ的Poisson過程Nt獨立，則E[Zm(t)]=exp{-λt(1-E[Jm]}.

證明：E[Zm(t)]=∑∞n=0P(Nt=n)E[∏Nti=1Jmi|Nt=n]

=∑∞n=0P(Nt=n)E[∏ni=1Jmi]

=∑∞n=0(λt)nn!e-λt·（E[Jm])n

=e-λt∑∞n=0(λtE[Jm)]nn!

=e-λt·exp(λtE[Jm]

根據這個命題和公式(3)，我們可以得出

E(St)=S0exp{[(θ-λμ)-12σ2]t}E[eσWt]·E（∏Nti=1eXi)

=S0exp{[(θ-λμ)-12σ2]t}e12σ2t·eλμt=S0eθt

E(S2t)=S20exp{[(θ-λμ)-12σ2]2t}E[e2σWt]·E（∏Nti=1e2Xi)

=S20exp{[(θ-λμ)-12σ2]2t}e2σ2t·exp{-λt(1-E[e2X])}

=S20exp{2t(θ-λμ+12σ2)+λt(E[e2X]-1)}

Var(St)=E(S2t)-(E(St))2

=S20e2θt{exp(σ2t-2λμ+λtE[e2X]-λt)-1}

由此可以看出，股票價格期望與無關，也就是說，Merton(1976)模型股票價格期望在有跳和無跳的情況下都相等，然而其方差卻有變化。

二、對沖投資組合的存在性

到目前為止，關于歐式看漲期權定價的著名的Black-Scholes方程已經有許多推導方法。然而，所有這些推導方法實質上可以分為兩類：Call（表示看漲期權）復制方法和Bond（表示短期債券）復制方法。在Black-Scholes情形中，可以用這兩類方法分別構造自融資投資組合Θt=αtSt+βtBt和對沖投資組合（表示無風險自融資投資組合），∏t=atSt-btC然后運用無套利原理，最終推導出Black-Scholes公式。

對于Merton(1976)模型，為了探討是否存在一個相似的投資組合，按完全對沖的方法，可以推導出期權價格滿足的方程為

Ct+σ22S22CS2+(r-λμ)SCS-rC+λE[C(SeX，t)-C(S，t)]=0.(4)

Merton以股票S，期權C和債券B的線性組合構造了投資組合，然后用反證法給出了否定的答案。另外，當標的資產是跳躍的時候，用一種期權，進行完全無風險對沖是不可能的。

命題3. 設Yt=∑Nti=1Ji為一復合Poisson過程，J1，J2，……獨立同分布，且與強度為λ的Poisson過程Nt獨立，那么Yt有平穩獨立增量。并且，若EJ1=μ，則Mt=∑Nti=1Ji-λμt是Ft鞅。

下面我們來證明第二個結論：

要證Mt=∑Nti=1Ji-λμt是鞅，只需證對任意s＜t，有

E(∑Nti=1Ji-λμt|Fs)=∑Nsi=1Ji-λμs這里Fs=σ{Yt，t≤s}

即證E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji|Fs)=λμ(t-s)

然而E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji|Fs)=E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji)=E(∑Nti=1Ji)-E(∑Nsi=1Ji

可知，E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji|Fs)=λμ(t-s)

因此Mt=∑Nti=1Ji-λμt是Ft鞅。

接下來僅用Call復制方法來證明不存在這樣的自融資投資組合（Bond復制方法與此類似）使得公式（4）成立。由于股票價格的跳躍點為可列個間斷點，因此以概率為1，投資者選擇對沖的時刻點是股票價格的連續點。在股票價格的某一連續時刻t，即St=St-，我們假設存在自融資投資組合Θt=αtSt+βtBt=αtSt-+βtBt，令C=C(St，t)，在T時刻有ΘT=CT.

由于市場無套利，故對任意的t，有

Θt=αtSt+βtBt=C(St，t)(5)

記S=St-，由It公式得

dΘt=αtdSt+rβtBtdt=αtS[(θ-λμ)dt-σδWt+d(∑Nti=1(eXi-1))]+r(C-αtS)dt

=rCdt+αtS(θ-r)dt+αtSσdWt+αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]

另一方面，由命題1得

dC=Ctdt+[CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2]dt+CSσSdWt+［C(St，t)-C(S，t)］dNt

而由(3)式可得

dC=[Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2]dt+CSσSdWt+d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)])=(Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2+λE[C(SX，t)-C(S，t)]dt

另外

(Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2+λE[C(SeX，t)-C(S，t)])dt+CSσSdWt+d(∑Nti=1[C(SXi，t)-C(S，t)])-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt=rCdt+αtS(θ-r)dt+αtσSdWt+αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]

整理得

{Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2-rC+λE[C(SeX，t)-C(S，t)-αtS(θ-r)]}dt+(CS-αt)σSdWt+d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)])-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt-αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]=0(6)

根據命題3，(6)式中

Ut≡∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)]-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]t

Vt≡∑Nti=1(eXi-1)-λμt

均為Ft鞅，另外布朗運動Wt也是Ft鞅。因此，要使(6)式無風險，則必須有

(CS-αt)σSdWt+d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)])-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt-αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]≡0

進一步有

(CS-αt)σSdWt=0αt=CS(7)

并且跳躍風險項

d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)])-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt-αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]≡0

此時，（6）式變為

{Ct+CS(r-λμ)S+122CS2σ2S2-rC+λE[C(SeX，t)-C(S，t)]}dt+d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)])-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt-CSS[d(∑Nii=1(eXi-1))-λμdt]=0

然而，跳躍風險項

d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)]-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt-CSS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]≡0

不成立。因此，(6)式的風險無法消除。這樣自融資投資組合Θt=αtSt+βtBt不存在。也就是說，不論是用Call復制方法還是用Bond復制方法，采用完全對沖的方法，是無法得出公式(4)的。換言之，該模型不存在對沖投資組合。

三、關于Merton(1976)方程的解

Merton(1976)證明該模型期權價格滿足的方程(7)的解為

C（S，t)=∑∞n=0exp(-λτ)(λτ)nn!En{W[SYnexp(-λμτ)，τ;K，σ2，r]}(8)

事實上，由(11)式知，Merton(1976)模型與標準Black-Scholes模型有許多相同的性質。比如說，它們對S，K，σ2，r有相同的單調性。由于該模型的重要性，它后來又派生出多種帶跳金融模型，如近年來的雙指數跳模型。由于篇幅等原因，我就不在這里贅述了。

(作者單位：南昌大學數學系)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文