三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)在高考中的應用

徐守軍

我們借助幾何畫板軟件，較為深入地研究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并利用圖象與性質(zhì)解決07年高考數(shù)學卷中出現(xiàn)的一部分試題.

一、三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

利用求導的方法，可以求得三次函數(shù)的導數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+c是二次函數(shù)，由于原函數(shù)的極值點與單調(diào)性與導函數(shù)的正負有關，所以容易發(fā)現(xiàn)導函數(shù)中的參數(shù)a與△的符號起決定性作用.下面我們就來研究三次函數(shù)與x軸的交點問題.

1、當a>0時，f′(x)=3ax2+2bx+c,

△=4b2-12ac=4(b2-3ac).

(1)若△>0，方程f′(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根，記作x1,x2，且x1f(x2).

性質(zhì)1：①f(x1)?f(x2)>0時，函數(shù)ゝ(x)的圖象與x軸有且僅有一個公共點；

②f(x1)?f(x2)=0時，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且僅有兩個公共點；

③f(x1)?f(x2)<0時，即f(x1)>0,ゝ(x2)<0時，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有三個公共點.

(2)若△≤0，則f′(x)≥0在R上恒成立，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，圖象與x軸有且僅有一個公共點.

2、當a<0時，f′(x)=3ax2+2bx+c,

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”