例談立體幾何中“存在”型問題的向量解法

牛立新

結論不確定的探索性問題，通常稱之為“存在型”問題，這類問題經常以“是否存在”，“是否有”，“是否可能”等語句出現，以示結論有待判斷.“存在型”問題是較典型的開放探索性問題，由于數學開放題有利于學生創新意識的培養和良好思維品質的形成，它越來越受到命題者的青睞和研究.由于新教材中向量的引入，尤其把向量用坐標表示，這便為用“數”的方法研究立幾中“形”的問題建立了嶄新的平臺.使得幾何問題代數化，不僅可以降低空間想象的難度，而且具有很強的可操作性，使此類問題的解答簡明流暢，有法可循，達到避繁就簡，化難為易，事倍功半的效果，同時體現了新教材的優勢功能.本文舉例說明立體幾何中“存在”型問題的向量解法，以供參考.

一、探求比值問題

例1 (2002年全國高考題)如圖1，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，則當CDCC1的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明.

解：設C1在底面上的射影為O，因而面CC1A1A⊥面ABCD，且交線為AC，所以O在AC上，以O為原點，OC1所在直線為z軸，AC所在直線為x軸，建立如圖1所示的空間直角坐標系O-xyz.設CD=a,CC1=b(a>0，b>0).那么C(33b,0,0),D(-32a+33b,a2,0),B(-32a+33b,-a2,0),C1(0,0,63b),狝1(-3a,0,63b).∴〤A1=(-3a-33b,0,63b),〤1B=(-32a+33b,-a2,-63b),〣D=(0,a，0).若A1C⊥平面C1BD，則〢1C?〤1B=0，

〢1C?〣D=0，即(-3a-33b)(-3a+33b)-23 b2=0，化簡得3a2-ab-2b2=0.即(a-b)(3a+2b)=0.

∴ab=1或ab=-23(舍去).

故當CDC1C=1時，A1C⊥平面C1BD.

評注：盡管點的坐標計算有一定難度，但均可在平面三角形中完成，而后面垂直關系的判斷則非常簡單.

二、探求點問題

例2 如圖2，已知ABCD為邊長是1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=1，試問PB上是否存在一點M，使平面MAC與底面ABC成60°角?若存在，請求出點M的位置；若不存在，請說明理由.

解：由題意建立如圖2所示的空間直角坐標系A-xyz.則A(0，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，假設PB上存在一點M，設M點在x,z軸上的正投影分別為E，F，設AE=a，則AF=1-a，即M(a,0,1-a)，且0

x0+y0=0,令z0=a，則x0=a-1,y0=1-a，即n=(a-1,1-a,a).由玞os=|n?〢P遼|n遼?|〢P遼，

得12=|a|(a-1)2+(1-a)2+a2?02+02+12,化簡得a=6-2,即M(6-2,0,3-6)，

即存在一點M，當PMMB=23時，平面MAC與底面ABC成60°角.

評注：用兩平面的法向量夾角來刻劃兩平面夾角，是用空間向量處理立幾問題的通法.

三、探求范圍問題

例3 (2006年重慶卷)如圖3，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點.設PA=kAB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范圍.

解：如圖3，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，設AB=a，則易知點A，B，C，D，F的坐標分別為：A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0),設E在xOy平面上的投影為G，過G作GH⊥BD，垂足為H，由三垂線定理知EH⊥BD.從而∠EHG為二面角E-BD-C的平面角.由PA=kAB，得P(0,0,ka),Ea,a,ka2,

G(a,a,0).設H(x,y,0)，則〨H=(x-a,y-a,0),〣D=(-a,2a,0),由〨H?〣D=0，得

-a(x-a)+2a(y-a)=0，

即x-2y=-a ①

又因〣H=(x-a,y,0)，且〣H哂氌〣D叩姆較螄嗤，故x-a-a=y2a，即2x+y=2a ②

由①②解得x=35a,y=45a，從而〨H=-25a,-15a,0,|〨H遼=55a，

玹an∠EHG=|〦G遼|〨H遼=ka255a=52k.

由k>0知，∠EHG是銳角，由∠EHG>30°，得玹an∠EHG>玹an30°，即52k>33.

故k的取值范圍為k>21515.

由以上幾例可以看出，高考數學命題把開放題作為重要的題型引入到試卷中來，是將新課標的理念滲透于其中.另外利用向量法解決立體幾何的“存在型”問題，為學生提供了嶄新的視角，豐富了他們的思維結構.同時，拓寬了學生的解題思路，發揮了新教材的優勢功能，對學生更好的理解和掌握平面向量有關內容以及后續學習奠定了基礎.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”