三角形與三棱錐的兩個性質命題的逆命題

王本民

文［1］討論了三角形的一個向量性質并將其推廣到三棱錐中.

命題1 如圖1所示，已知△ABC及其內部一點P，若│霜1㏄A擢+λ2㏄B+λ3㏄C=0,λ1，λ2，λ3都是正實數，過點P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且〢M=x〢B擼〢N=y〢C

命題2 如圖2所示，已知三棱錐ABCD及其內部一點P，若λ1㏄A+λ2㏄B+λ3㏄C+λ4㏄D

筆者進一步研究后發現上述兩個命題的逆命題也成立，現將其敘述并證明如下.

命題3 如圖1所示，已知△ABC及其內部一點P，過點P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且〢M=x〢B

證明：∵M、N、P三點共線(A不在直線MN上)，∴〢P=μ1〢M+μ2〢N=μ1x〢B+μ2y〢C擼(且μ1+μ2=1) ①

=0.故命題成立.

命題4 如圖2所示，已知三棱錐ABCD及其內部一點P，過點P作平面與AB、AC、AD三邊分別交于M、N、K三點，且

故命題成立.

顯然，由上述命題及證明可以得到如下兩個“充要性”的命題：

命題5 如圖1所示，已知△ABC及其內部一點P，過點P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且〢M=x〢B

命題6 如圖2所示，已知三棱錐ABCD及其內部一點P，過點P作平面與AB、AC、AD三邊分別交于M、N、K三點，且

參考文獻

［1］田富德.三角形的一個向量性質及其空間拓廣.數學通訊.2007(13).

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