例談高考試題中的“焦點四邊形”的最值問題

蘇立標

如果圓錐曲線的內接四邊形的對角線經過圓錐曲線的焦點，我們把這樣的四邊形叫做焦點四邊形.圓錐曲線的焦點四邊形與焦點三角形有許多相似的性質，焦點四邊形中的最值問題在近幾年的高考試題及全國各地的模擬試題中頻頻亮相，值得關注，這類問題往往把考查圓錐曲線的性質與求最值問題結合起來，形成一個知識與能力的交匯點，是考查學生綜合應用知識能力的良好載體，倍受命題者所推崇，成為一道新的亮點.本文試圖通過例析高考試題進行分類歸納其常見的類型，以供高考復習時參考.

一、只有一條對角線過焦點的“焦點四邊形”

例1 (2005年全國高考數學試題)P、Q、M、N四點都在橢圓x2+y22=1上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點，已知㏄F哂氌〧Q吖蠶擼㎝F哂氌〧N吖蠶擼且㏄F?㎝F=0.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.

解：由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，且MN⊥PQ，所以MN和PQ中至少有一個斜率存在，不妨設PQ的斜率為k，則PQ的方程為y=kx+1，代入橢圓方程得

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