數(shù)學(xué)中的一般化與特殊化例談

一般化與特殊化是人類(lèi)認(rèn)識(shí)事物的兩個(gè)重要側(cè)面，也是解題的兩種基本策略，它們相輔相成，是辯證的統(tǒng)一.在多數(shù)場(chǎng)合，特殊問(wèn)題簡(jiǎn)單、直觀，容易認(rèn)識(shí)，容易把握.但是，也有一些場(chǎng)合，特殊問(wèn)題的個(gè)別特性可能會(huì)掩蓋事物的本質(zhì)屬性，給解題帶來(lái)困難，而直接求解相應(yīng)的一般性問(wèn)題，反而來(lái)得簡(jiǎn)便、明快、奇巧.

一、平起平坐 互為因果

通常情況下，特殊不能代替一般；但有時(shí)，特殊命題確實(shí)能與一般命題等價(jià).

利用特殊與一般等價(jià)解決問(wèn)題，有兩種基本形式：其一是特殊借助于一般使問(wèn)題獲得解決；其二是一般借助于特殊使問(wèn)題獲得解決.

例1 下列兩個(gè)命題是否等價(jià)?為什么?

命題1 設(shè)a璱>0(i=1,2,…，n)，則a1+a2+…+a璶n≥na1a2…a璶，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=a璶時(shí)，等號(hào)成立.

命題2 設(shè)a璱>0(i=1,2,…，n)，且a1a2…a璶=1，則a1+a2+…+a璶≥n，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=a璶時(shí)，等號(hào)成立.

分析：(1)命題2是命題1的特殊情況，由命題1當(dāng)然能推出命題2.

(2)考察下列n個(gè)正數(shù)：a1na1a2…a璶,a2na1a2…a璶,…，a璶na1a2…a璶,由于它們的積為1，故a1na1a2…a璶+a2na1a2…a璶+…+a璶na1a2…a璶≥n，即a1+a2+…a璶n≥na1a2…a璶.

∴由命題2能推出命題1.

由(1)(2)可知，命題1與命題2等價(jià).這樣，我們就發(fā)現(xiàn)了一件非常有趣的事情：有時(shí)特殊命題與一般命題等價(jià).

這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)并非只有理論上的價(jià)值.事實(shí)上，既然有時(shí)“特殊命題與一般命題等價(jià)”，我們想要證明一般命題1，只要證明特殊命題2就可以了.顯然，證明命題2要比證明命題1來(lái)得容易(命題2可用數(shù)學(xué)歸納法證明).

例2 設(shè)a,b,c,d,e都是正整數(shù)，且滿足a+b+c+d+e=abcde,求e的最大值.

分析：由條件等式的對(duì)稱(chēng)性，可知e的最大值也是a,b,c，d的最大值，對(duì)a、b、c、d、e進(jìn)行排序，得到一個(gè)相應(yīng)的特殊問(wèn)題，從而便于放縮，使問(wèn)題得解.

解：由條件等式的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)a≤b≤c≤d≤e.由題設(shè)，有a+b+c+d+eabcde=1=1bcde+1acde+1abde+1abce+1abcd≤1de+1de+1de+1e+1d=3+d+ede.即de≤3+d+e,

(d-1)(e-1)≤4.

下面分兩種情形討論：

(1)若d=1，則由排序假設(shè)有a=b=c=d=1，從而4+e=e，這是不可能的.

(2)若d>1,則e-1≤4，即e≤5.而當(dāng)e=5時(shí)，容易找到滿足條件的一組解a=b=c=1,d=2,e=5，即e=5是可能的.即e的最大值為5.

二、高屋建瓴 勢(shì)如破竹

當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問(wèn)題時(shí)，要設(shè)法把特殊問(wèn)題一般化，找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般性問(wèn)題，以便利用解決一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利解出原題，這就是一般化策略.這種策略是通過(guò)找出特殊問(wèn)題的一般原型，把特殊問(wèn)題從原有范圍擴(kuò)展到較大范圍來(lái)進(jìn)行考察，從而使得我們能在更一般、更廣闊的領(lǐng)域中使用更靈活的方法去尋求化歸的途徑.

用一般化策略解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程為：

一般化策略能否奏效，關(guān)鍵在于一般化命題是否比需解的特殊命題易于求解.

例3 證明：11+12+13+…+11000>1000.

分析：將上述命題一般化，即證明11+12+13+…+1n>n(n>1,n∈N).這是有關(guān)自然數(shù)的問(wèn)題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.

證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，1+12=2×2+12>2，命題成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N)時(shí)，命題成立，即11+12+13+…+1k>k.于是有11+12+13+…+1k+1k+1>k+1k+1=k+1×k(k+1)+1k+1>k+1.即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

由(1)、(2)可知一般化命題成立.現(xiàn)取n=1000，即證得原不等式.

由此可見(jiàn)，有時(shí)一般化命題比特殊命題易解，主要是因?yàn)橐话慊}中包含了一批特殊命題，并且把這些特殊命題有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，這比孤立地看一個(gè)特殊命題較易看清規(guī)律以及它們之間的屬性的差異.

一般化策略是解決問(wèn)題的有效方法，也是科學(xué)探索的常用方法.實(shí)施一般化策略通常有以下三個(gè)步驟：

(1)要從不同的側(cè)面分析題目的特征，找出能使題目一般化的有關(guān)因素；

(2)從不同的因素入手，通過(guò)抽象、概括或猜想，常常可以得到多種一般性問(wèn)題，要力求從中找出最接近于特殊問(wèn)題本質(zhì)，又為自己所熟悉、易于解答的一般性問(wèn)題；

(3)在返回原問(wèn)題的過(guò)程中，要注意一般性問(wèn)題與特殊問(wèn)題之間的差別，針對(duì)這種差別，采取不同的方法或技巧，以便順利地過(guò)渡到原題的解答上.

三、擊中一點(diǎn) 牽動(dòng)全局

從特殊到一般是人類(lèi)認(rèn)識(shí)客觀事物的一種規(guī)律.對(duì)于一個(gè)一般性的問(wèn)題，先研究它的某些特殊情形，從而獲得解決問(wèn)題的途徑，使問(wèn)題得以“突破”，這種解決問(wèn)題的策略稱(chēng)為特殊化策略.共性孕育在個(gè)性之中.人們總是首先認(rèn)識(shí)了許多不同事物的特殊本質(zhì)，然后才有可能更進(jìn)一步地作概括，認(rèn)識(shí)諸種事物的共同本質(zhì).特殊化策略，正是特殊與一般的辯證關(guān)系在解題中的靈活運(yùn)用，它生動(dòng)地體現(xiàn)了認(rèn)識(shí)過(guò)程中以退為進(jìn)的思想方法.

“在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.”(希爾伯特語(yǔ)).對(duì)個(gè)別特殊情況的討論，常能凸現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵，揭示問(wèn)題的本質(zhì).

用特殊化策略解決問(wèn)題的思維過(guò)程，可用框圖表示如下：

有一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，求解特殊化問(wèn)題的關(guān)鍵性步驟，就是求解一般化問(wèn)題的關(guān)鍵性步驟.因此，我們要注意從相應(yīng)的特殊化問(wèn)題求解中尋求有益啟示，發(fā)現(xiàn)一般化問(wèn)題的解題關(guān)鍵.

例4 試證明一個(gè)周長(zhǎng)為2l的封閉曲線一定可以被一個(gè)直徑為l的圓蓋住.

分析：直接著手證明一時(shí)看不到頭緒，我們不妨先從特殊的情形入手.比如，分析周長(zhǎng)為2l的平行四邊形的情形.設(shè)ABCD是周長(zhǎng)為

2l的平行四邊形(如圖1)，由于OD=12BD≤12?(BC+CD)=l2.同理：OC≤l2.

顯然，這個(gè)平行四邊形能被以O(shè)點(diǎn)為圓心，直徑為l的圓蓋住.

對(duì)于周長(zhǎng)為2l的任意形狀的封閉曲線(如圖2)，設(shè)A，C兩點(diǎn)恰好把這封閉曲線平分為長(zhǎng)為l的兩段，O是線段AC的中點(diǎn)，P是該曲線上任意一點(diǎn)，連接PO，PA，PC，則有PO≤12(AP+CP)≤l2(曲線AP的長(zhǎng)+曲線CP的長(zhǎng))=12曲線AC的長(zhǎng)=12l.

所以P在一個(gè)以O(shè)為圓心，直徑為l的圓內(nèi)或圓上.

因?yàn)镻是該曲線上的任一點(diǎn)，所以該封閉曲線一定可以被一個(gè)直徑為l的圓蓋住.

將一般問(wèn)題特殊化，通常并不難，只須針對(duì)所研究的對(duì)象添加某些限制或適當(dāng)加強(qiáng)某些條件即可.但是，一個(gè)一般問(wèn)題經(jīng)過(guò)不同的特殊化處理可以得到若干個(gè)不同的特殊問(wèn)題，需要指出的是：將一般問(wèn)題特殊化，求解能否奏效的關(guān)鍵是能否找到一個(gè)在解題中起主導(dǎo)作用的特殊問(wèn)題.比較理想的特殊問(wèn)題，既要求它本身容易解決，又能由它的解法發(fā)現(xiàn)一般問(wèn)題的解法.

四、協(xié)同運(yùn)用 出奇制勝

對(duì)于有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，特殊化與一般化這兩種解題策略必須協(xié)同運(yùn)用，才能順利解決.

例5 能否將n個(gè)正方形剪拼成一個(gè)大的正方形?

分析：這里要解決的是個(gè)數(shù)為n的一般性問(wèn)題，結(jié)論尚屬未知.

先考察一個(gè)最簡(jiǎn)單的特殊情形——將兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形S1與S2剪拼成一個(gè)正方形S12，可按圖3所示的方法剪拼而成.

這種特殊情況是將一般情況經(jīng)兩次特殊化(正方形個(gè)數(shù)特殊化、邊長(zhǎng)特殊化)而得到的.在這種特殊情況下剪拼方法一目了然.為了將其推向一般，我們也可分兩步走.

第一步，考慮兩個(gè)大小不同的正方形的情況.

第二步，考慮n個(gè)任意正方形的情況.

為將上述剪拼法推向兩個(gè)大小不同的正方形，我們來(lái)對(duì)它作一定量的分析.要剪拼出新正方形S12，只需計(jì)算出其邊長(zhǎng)以及確定裁剪的路線.由圖3，S12的一邊x與S1的一邊a和S12的一邊a恰好組成一個(gè)直角三角形，x為斜邊，a,a為兩直角邊.據(jù)此我們猜想：對(duì)兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a,b的正方形S1，S2來(lái)說(shuō)，比照上述做法，以a,b為兩直角邊作直角三角形，再以其斜邊為邊長(zhǎng)和裁剪路線，也能剪拼出一個(gè)新的正方形S12來(lái).

實(shí)際驗(yàn)證說(shuō)明上述猜想是正確的(如圖4).

如果給定三個(gè)正方形S1，S2，S3，那么我們可用上述方法先將S1，S2剪拼成一個(gè)正方形S12，再將S12與S3剪拼成一個(gè)正方形S123.

由歸納法我們得出關(guān)于一般性問(wèn)題的猜想：任意n個(gè)正方形都可以剪拼成一個(gè)正方形.

由類(lèi)比法我們還可得出關(guān)于證法的猜想：設(shè)給定n個(gè)正方形S1，S2，…，S璶，先將S1與S2按上述方法剪拼成一個(gè)正方形S12；再將S12與S3剪拼成一個(gè)正方形S123；…，最后將S12…(n-1)與S璶剪拼成一個(gè)正方形S12…n.

我們發(fā)現(xiàn)，上述做法有遞推關(guān)系，故我們不必一個(gè)一個(gè)地去驗(yàn)證，可使用數(shù)學(xué)歸納法，做一次驗(yàn)證就可以了.

證明：(數(shù)學(xué)歸納法)

當(dāng)n=2時(shí)，按圖4所示的方法，可將任意

兩個(gè)給定的正方形剪拼成一個(gè)正方形.

假設(shè)k(k≥2)個(gè)正方形能剪拼成一個(gè)正方形，那么，對(duì)給定的k+1個(gè)正方形，我們可先將前k個(gè)剪拼成一個(gè)正方表S12…k，再將S12…k與S﹌+1剪拼成一個(gè)正方形S12…k(k+1).

∴能將n個(gè)正方形剪拼成一個(gè)大的正方形.

上述過(guò)程可用框圖簡(jiǎn)示如下：

這也是一般化與特殊化協(xié)同解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般模式.

參考文獻(xiàn)

［1］何華興主編.數(shù)學(xué)思想方法［M］.上海：百家出版社，2001.

［2］顧泠沅主編.數(shù)學(xué)思想方法［M］.北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.

［3］殷堰工.數(shù)學(xué)解題策略精編［M］.上海：上海科技教育出版社，1994.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”