三談等軸雙曲線的典型性質

崔寶法

貴刊曾在2000年第5期和2006年第7期分別刊登了本人的拙作《等軸雙曲線的幾個典型性質及其證明》和《再談等軸雙曲線的典型性質》，經進一步深入研究，筆者發現等軸雙曲線還有另外的一些典型性質，現一一列出，并給出證明.

性質1 等軸雙曲線上任一點處的法線與實、虛軸相交所得線段恰被該點平分.

證明：如圖1，設等軸雙曲線x2-y2=a2

上任意一點為M(x0,y0)，則過M點的切線方程為x0x-y0y=a2.由于同一點處的切線與法線互相垂直，故可令過點M的法線方程為y0x+x0y=λ，以點M坐標代入法線方程，得λ=2x0y0,所以法線方程為y0x+x0y=2x0y0.因為已知法線與兩坐標軸都相交，所以x0≠0，y0≠0，由此可解得法線與實、虛軸的交點分別為L(2x0,0)、K(0,2y0)，故LK的中點坐標為(x0,y0)，即線段LK恰被點M平分.

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