一個最值問題引發的思考

段惠民　肖麗華

以下是大家熟悉的一個傳統解析幾何題：

題目 已知直線l:y=4x和點R(6，4)，在l上求一點Q，使直線RQ與l及x軸在第一象限內所圍成的三角形的面積最小.

文［1］給出了上題的五種解法，欣賞之后，似有意猶未盡之感.

本題求出的Q點坐標為(2，8)，而R點坐標為(6，4)，設QR交x軸于P，則R點恰好為QP的中點，這難道是巧合?由此引發筆者思考而得出以下兩個結論.

定理1 P是∠BAC內一定點，過P作直線EF交∠BAC的兩邊AB、AC于E、F，當△AEF的面積最小時，P為EF的中點.

證 如圖2，延長AP到G，使PG=AP，過G分別作AB，AC的平行線交AB于E，AC于 F，則P是鰽EGF的中心，故P是EF的中點，過P任作一直線交AB于E′，交AC于F′，不妨設E′在線段AE內，F′在AF的延長線上，設E′F′交FG于S，則面積

S△E′EP=S△SFP

∴S△AEF

由此可見，上述解析幾何題實在是一個簡單的問題，但筆者感興趣的是它的一個類比問題：如果P是已知三面角內的一個定點，類似的四面體體積的最小值是否也有規律可尋?

事實上，以下定理是成立的.

定理2 已知P是三面角O-ABC內的一個定點，過P作平面交射線OA，OB，OC于D，E，F，當四面體ODEF體積最小時，P為△DEF的重心.