圓錐曲線定點弦的一個性質

侯典峰　杜　山

文［1］給出了圓錐曲線焦點弦的性質，本文將對此問題進行進一步的探究，得出圓錐曲線定點弦的一個性質.

定理1 橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的過定點A(m,0)(0

證明：設P(x1,y1),㏎(x2,y2)，〢Q=│霜〢P擼顯然λ<0,由T(t,0)知(x2-m,y2)=λ(x1-m,y1)，即x2-m=λ(x1-m),y2=λy1.

從而可知直線TP的方程y=y1x1-t(x-t)，直線TQ的方程y=y2x2-t(x-t),令x=a2m，得Ma2m,(a2m-t)y1x1-t,Na2m,(a2m-t)y2x2-t.

設直線QM與x軸的交點為S(s,0)，由Q、S、M三點共線得向量㏎S哂胂蛄開㏒M吖蠶擼從而有a2m-tx1-ty1(x2-s)=a2m-sy2，代入y2=λy1得a2m-tx1-t(x2-s)=a2m-sλ，a2m-tx1-tx2-a2m-tx1-ts=a2mλ-sλ，a2m-tx1-t-λs=a2m-tx1-tx2-λa2m,(a2m-t-λx1+λt)s=(a2m-t)x2-λa2m(x1-t),(λ-1)t+a2m-λx1s=λa2m-x2t+a2m?(x2-λx1)，

∴s=λa2m-x2t+a2m(x2-λx1)(λ-1)t+a2m-λx1.

令λa2m-x2=k1(λ-1)(1)，則將上式中x2代換成x1,λ代換成1λ后式子也成立，即得a2λm-x1=k1(1λ-1)，兩邊同乘λ得a2m-λx1=k1(1-λ) (2)

由(1)-(2)得λa2m-a2m-(x2-λx1)=2k1(λ-1),又x2-m=λ(x1-m),故有x2-λx1=(1-λ)m,從而a2m(λ-1)+(λ-1)m=2k1(λ-1)，顯然λ-1≠0，k1=a2m+m2.令a2m-λx1=k2(λ-1),則a2m-x2λ=k2(1λ-1),λa2m-x2=k2(1-λ),兩式相減得(1-λ)a2m+x2-λx1=2k2(1-λ)，即(1-λ)a2m+(1-λ)m=2k2(λ-1),k2=-(a2m+m)2.

所以s=(λa2m-x2)t+a2m(x2-λx1)(λ-1)t+(a2m-λx1)=(a2m+m2)(λ-1)t-a2m［(λ-1)m］(λ-1)t-(a2m+m2)(λ-1)=

(a2m+m)t-2a22t-(a2m+m)，即直線QM與x軸的交點為Sa2m+mt-2a22t-a2m+m,0.

同理可證，直線PN與x軸的交點也為

Sa2m+mt-2a22t-a2m+m,0,這說明直線PN、QM相交于x軸上一定點Sa2m+mt-2a22t-a2m+m,0,其橫坐標與A(m,0)與T(t,0)的橫坐標有關，與直線PQ的斜率無關.

類似地，可以證明雙曲線和拋物線有如下定理.

定理2 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的過定點A(m,0)(m>a)的動直線與雙曲線右支交于P、Q兩點，T(t,0)是x軸上一點，直線TP、TQ分別與直線x=a2m相交于點M、N，則直線PN、QM相交于x軸上一定點a2m+mt-2a22t-a2m+m,0.

定理3 拋物線y2=2px(p>0)的過定點A(m,0)(m>0)的弦PQ，T(t,0)是x軸上一點，直線TP、TQ分別與直線x=-m相交于點M、N，則直線PN、QM相交于x軸上一定點m2t,0.

參考文獻

［1］王小平.有關圓錐曲線焦點弦的兩個性質，高中數學教與學，2006(9).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”