數學探索性問題及解題策略

陳大寧

探索性數學題是以數學題構成要素為標準，著眼于數學題的功能進行分類的一種題型，它具有這樣一個共同的特點：即構成數學問題的要素中，至少有一個要素是不確定的，從而使解題思考方向具有不確定性，這類問題的題型內容廣泛，形式多樣，要學生自己推斷補充并加以解決，由于這類問題形式新穎，思考方向不確定，因此綜合性和邏輯性較強，給學生解題帶來一定的困難，但是在中考中，考查這方面的力度和權重不斷加大，它著重于考查學生的觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對提高學生的思維品質、培養學生獨立解決問題的能力具有十分重要的作用，引起了廣大師生的高度重視，從近幾年來各地考題的特點來看，解答題類型的探索題常作為壓軸題出現．常見的有存在型探索題、規律型探索題、條件型探索題、結論型探索題等．本文將就這四種常見的題型進行探討，找出數學探索性問題的解題策略．

1．存在型探索性問題

這類問題通常是討論在給出的題設條件下，是否存在某個數學對象，或成立某個數學結論的數學問題．對這類問題的解題策略是：先假設所探求的對象存在或結論成立，以此假設為前提條件進行運算或演繹推理，若由此推理出矛盾，則假設不成立，從而得出“不存在”的結論，其中推理得出矛盾的過程就是結論不存在的理由，若推理能求出在題設范圍內要求的數學對象(如數值、圖形等)，就得到存在的結論．

【例1】 已知關于x的方程kx²-2(k+1)x+k-1=0有兩個不相等的實數根，

(1)求k的取值范圍；

(2)是否存在實數k，使此方程的兩個實數根的倒數和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．