題解反思　提高能力

吳傳章

要迅速提高學生數學解題的能力，須具備諸多條件和因素．長期的教學實踐告訴我們，學生在進行解題訓練的過程中，普遍欠缺一個自我提高解題能力的重要環節，即題解后的“反思”．何謂“題解反思”？一道數學題經過一番苦思冥想解答出答案之后，必須認真進行如下探索：命題的意圖是什么？考查了我們哪些方面的概念、知識和能力？解題思路及結論是否正確合理，命題所提供的條件的應用是否完整？求解論證過程判斷是否有據可尋，謹慎嚴密，符合邏輯？本題還有無其他解題思路—發散思維（一題多解）？眾多解法中有哪一種最簡捷？并把本題的解法作進一步歸納總結，從而發現具有普遍性、一般性的規律．最終達到使學生能舉一反三，多題一解，一題多解．這就是“題解反思”．搞好題解后的反思其積極意義表現在以下幾個方面．

一、積極反思，查缺補漏，確保解題的合理性和正確性

解數學題，有時由于審題不準，概念理解不透徹，忽略條件，相近知識混用，考慮不周或計算出錯，產生這樣或那樣的錯誤，即學生解數學題不能保證一次性完整，為此教學中教師必須要求學生對解題過程進行回顧和反思，對解題過程及結論的正確性和合理性進行驗證．尤其針對那些把做作業當成是完成任務，解完題后，頭也不回就揚長而去的人，經長期研究發現，學生這樣學習都會產生大量謬誤．常見的現象有：

1.結論荒唐，引為笑柄．一名同學計算出月球離地面的最遠距離是30米，而且解題者對此結論竟深信不疑，本來只憑生活常識也足可鑒別真偽的問題，一個高一學生居然鬧出如此笑話．

2.以特殊性代替普遍性．高一代數作業題：證明函數f(x)=-x³+1在(-∞,0)內是減函數．一些學生這樣證明：

∵f(-1)=2，f(-2)=9，f(-3)=28，……這是非常明顯的錯解．

3．臆造“定理”，判斷無據，以日常概念代替科學概念．不少學生把“垂直于同一直線的兩條直線平行”這一定理不加任何條件套用到立體幾何中來，臆造“定理”，判斷無據．又如：有的同學會由“兩角和的正切公式”，造出“兩角和的余切公式”而造成誤解．

以上常見的解題錯誤，不勝枚舉，有的顯而易見，有的較為隱蔽，但只要學生對自己解題的過程能認真進行反思，是不難發現并及時予以糾正的．可惜不少同學只滿足于一知半解，解完了事，不加探索回顧，任其漏洞百出．這種錯誤思想和做法，像蛀蟲一樣嚴重蛀蝕著學生的思維品質，影響學生解題能力的提高．由此可見，題解反思的積極意義及其重要性，必須引起師生在教學中的高度重視．

二、積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力

數學知識有機聯系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸．即使一次性解題合理正確，也未必能保證這種思路就是最佳思路，最優最簡捷的解法．同時不能解完題就此罷手，如釋重負．應該進一步反思，探求一題多解，多題一解的問題，開拓思路，溝通知識，掌握規律，權衡解法優劣，有創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌．

1.一題多解．既可看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉化條件等．這些對提高解題能力是何等的重要．

2.多題一解．（1）8個不同元素排成前后兩排，每排4個元素，有多少種排法？

（2）8個不同元素排成3排，前排4個，中排3個，后排1個，有多少種排法？

仔細分析，不難得出這類問題的統一解法：n個元素排在n個位置上．

善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決類似的問題，便會迎刃而解，體現多題一解的優勢．

三、積極反思、系統總結

不少同學學習，易犯“就事論事，就題論題”，掌握的知識支離破碎，缺乏系統的知識結構．為使重要數學方法、公式、定理的應用有規律條理化，在解題中應運用自如，有的放矢．應該把基礎知識從整體上按數學的邏輯結構、知識間的內在聯系進行整理；還要把平時所學的各個單元的局部的、分散的零碎知識、解題的思想方法，解題的規律進行系統總結，從而能在整體上、系統上把握知識、思想、方法．

總之因為學生學習態度和心理狀態的不同，或者老師缺少必要的要求和指導訓練，大部分學生在學習中都缺少這一重要環節，所以良好的解題習慣、解題能力、思維品質未能在更深和更高層次上得到有效提高和升華．為了提高同學的解題能力，應該倡導和訓練學生進行有效的題解后反思．