三個“二次”問題的探究

李生忠

二次函數、一元二次方程和一元二次不等式這三部分知識是一個有機整體,關系密不可分,且貫穿于整個代數內容的學習中,是高考考查的熱點之一.因而注意它們之間的關系,分析它們內在的聯系,歸納解題規律,提升解題技巧,做好轉換,能用函數思想來研究方程和不等式,則可收到意想不到的解題效果,本文就此作了一些分析和探討.

一、常見結論

1．二次函數的基本性質

（1）二次函數的三種表示法

（I）一般式：y=ax²+bx+c(a≠0);

（II）頂點式：y=a(x-h)²+k(a≠0);

（III）兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).

（2）一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象和性質

（I）以x0=-b2a為對稱軸.特別地,當b=0時,y軸為其對稱軸,且為偶函數;

（II）開口方向由a決定,a>0時開口向上,a<0時開口向下;c為拋物線在y軸上的截距,頂點坐標為(-b2a,4ac-b²4a);

（III）單調性：以對稱軸x0=-b2a為界,兩側具有相反的單調性.

（3）對f(x)=a(x-h)²+k(a≠0),x∈［p,q］的最值問題,最好用圖象法.

（I）尤其是當“軸變區間定”和“軸定區間變”時,這兩種情況利用圖象作參考找出討論時分類的標準.

（II）“軸定區間也定”的最值：

①若h∈［p,q］,則計算f(h),f(p)和f(q),比較三者,較大者為最大值,較小者為最小值;

②若h［p,q］,則只需計算f(p)和f(q),兩者當中較大者為最大值,較小者為最小值.

2．二次方程f(x)=ax²+bx+c=0(a>0)的實根分布及條件