平面幾何中一個結論的應用與推廣

韋文彬

理論的研究固然是重要的，而研究的最終目標就是要創新，使已得出的結論變成解決問題的便捷依據．下面就用“等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離的和恒等于一腰上的高”這個結論來解相關的問題.

一、常見解法與應用結論解法的比較

【例1】 已知如圖1-1，E為矩形ABCD的邊AD上一點，且BE=ED，P為對角線BD上一點，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G，求證：PF+PG=AB．

分析：要證AB=PF+PG，可利用截長補短的方法，如過P作PH⊥AB于H，得矩形AHPG，有AH=PG，只需證BH=PF，即證△BPH與△PBF全等．

證明：過P作PH⊥AB于H，則四邊形AHPG為矩形．

∴AH=GP，PH//AD ∴∠ADB=∠HPB.

∵BE=DE ∴∠EBD=∠ADB.

∴∠HPB=∠EBD.

又∵∠PFB=∠BHP=90°，∴△PFB≌△BHP，

∴HB=FP.

∴AH+HB=PG+PF，即AB=PG+PF.

除以上方法外，還有以下思考：

1.過點A作MA//BD交PG的延長線于M，則四邊形ABPM為平行四邊形，由作法易知AM=BP，則△AMG≌△BPF，有PF=MG，也能使PG+PF=AB得證．

2.如果連結EP，利用S△BDE=S△BEP+S△DEP的關系，也得PG+PF=AB的結果．

3.過G作GI//BD交AB于I，得平行四邊形BPGI，則有GP=BI，BP=IG，再證△AIG≌△FPB，也能使PG+PF=AB得證．

以上屬常規證法．

以下是用結論關系證明：

分析：由已知條件BE=ED，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G，且△EBD位于矩形ABCD中，易知，題目已具備了結論的條件（等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離的和恒等于一腰上的高）．只需按關系推理就可以得出結果．

證明：由圖1-2可知：

∵BE=ED，∴△EBD為等腰三角形，點P為BD上一點，

PF⊥BE，PG⊥AD，

又∵四邊形ABCD為矩形，AB⊥AD，AB是三角形EBD

的ED邊上的高．

∴PF+PG=AB，即AB=PF+PG．

二、結論的應用

【例2】 如圖2所示，P是邊長為2的正方形ABCD邊CD上的任一點，且PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為E、F，則PE+PF=________．

分析：易見△DOC為直角等腰三角形，PE和PF為P到兩腰的距離，易知：PE+PF=OC，所以只要求出OC就可以了．