有趣的“換錢”游戲

張泊寧

題目:設(shè)想甲有100元錢,乙也有100元錢.若甲將手中的錢的先給乙,甲就成了50元,則乙就成了150元.隨后乙將手中的錢的給甲,乙就成了75元,則甲就成了125元……依此類推.請(qǐng)問:當(dāng)交換到什么程度時(shí),雙方手中的余額趨于穩(wěn)定?如果每次交換的比例是?呢?若呢?

思路探究:甲乙雙方開始交換前,第一次甲手里有100元錢,乙手里有100元錢.第一次交換后,甲50,乙150;第二次,甲125,乙75;第三次,甲62.5,乙137.5;第四次,甲131.25,乙68.75;第五次,甲65.625,乙134.375;第六次,甲132.812 5,乙67.187 5……觀察這些數(shù)據(jù),甲乙之間的比例似乎接近于0.5即1∶2,前六次分別是:0.333 3?0.600 0?0.454 5?0.523 8?0.488 4?0.505 9;而甲乙總和始終為200.由此試著假設(shè)最終甲乙二人分別為和,滿足甲乙比例為1∶2的條件.此時(shí),顯然當(dāng)乙將手中的錢的給甲后,甲手中的錢就是+=,而乙手中的錢則為總數(shù)的,說明這種交換趨于穩(wěn)定.

過程分析:先用1-==1∶2,再用1+2=3(份),可以知道這些錢可分為3份,乙可占其中的2份,甲可占其中的1份,算出是乙,是甲.×200==133.333 3(元)?200×==66.666 7(元)

接下來考慮的情形:甲乙雙方開始交換前,第一次甲手里有100元錢,乙手里有100元錢.第一次交換(甲將手中的交給乙)后,甲有66.666 7,乙有133.333 3;第二次,甲111.111 1,乙88.888 9;第三次,甲74.074 1,乙125.925 9;第四次,甲116.049 4,乙83.950 6;第五次,甲77.366 3,乙122.633 7;第六次,甲118.244 2,乙81.755 8……觀察這些數(shù)據(jù),甲乙之間的比例似乎接近于0.666 7即2∶3,前六次分別是:0.500 0?0.800 0?0.588 2?0.723 4?0.630 9?0.691 4;而甲乙總和始終為200.由此試著假設(shè)最終甲乙二人分別為和,滿足甲乙比例為2∶3的條件.此時(shí),顯然當(dāng)乙將手中的錢的給甲后,甲手中的錢就是+=,而乙手中的錢則為總數(shù)的,說明這種交換趨于穩(wěn)定,即甲有×200=80,乙有×200=120.

由此可推出時(shí)的結(jié)果.設(shè):甲開始的錢為A?乙開始的錢為B,那么甲乙總共的錢為(A+B).根據(jù)前面的推導(dǎo)過程分析,可知當(dāng)雙方按照比例進(jìn)行交換時(shí),甲為?乙為,此時(shí)甲乙雙方的錢數(shù)趨于穩(wěn)定,雙方的比例為(n-1)∶n.反之亦然.

這個(gè)題目說明在計(jì)算過程中要注意觀察和分析,及時(shí)從公式的角度進(jìn)行推算.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文