幫你學習有理數及其加減運算

周　桅

“有理數”這一章的主要內容是有理數的概念和有理數的運算.正確理解概念,熟練掌握運算是學好這一章的關鍵和主要標志,是進一步學習代數式?方程等知識的基礎.下面就有理數的有關概念和有理數的加減運算總結于下.

一?概念辨析

1. 正數和負數:大于0的數叫正數;小于0的數叫負數;0既不是正數也不是負數,是唯一的中性數.

注 對于正數和負數的概念,不能簡單理解為:帶“+”號的數是正數,帶“-”號的數是負數.例如:-a可能是正數,+a可能是負數,它們可能既不是正數也不是負數,是0.

2. 有理數:整數和分數統稱為有理數.整數包括正整數?零?負整數;分數包括正分數和負分數.

有理數的分類:

① 按負數的引入來分

數并不比別的數更“有道理”.有理數一詞是從西方傳來的,在英語中是rational number,而rational通常的意義是“理性的”.中國近代翻譯西方科學著作時,依據日語中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了“有理數”.但是,這個詞來源于古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思(有的把形如的數叫有理數,p?q是互質整數,且p≠0).

② 通常把正數和0統稱為非負數,負數和0統稱為非正數,正整數和0稱為非負整數(也叫做自然數),負整數和0統稱為非正整數.如果用字母表示數,則a>0表明a是正數;a<0表明a是負數;a≥0表明a是非負數;a≤0表明a是非正數.

3. 數軸:規定了原點?正方向和單位長度的直線.

數軸上的點與有理數的關系:所有的有理數都可以用數軸上的點表示.正有理數可以用原點右邊的點表示,負有理數可以用原點左邊的點表示,0用原點表示.

利用數軸比較有理數的大小:在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大.

注 數軸的定義包含三層含義:(1)數軸是一條直線,可以向兩端無限延伸;(2)數軸有三要素——原點?正方向?單位長度,三者缺一不可;(3)原點的選定?正方向的取向?單位長度大小的確定,都是根據實際需要“規定”的(通常取向右為正方向).

4. 相反數:幾何定義——在數軸上原點的兩旁,到原點距離相等的兩個點所表示的數,叫做互為相反數.代數定義——只有符號不同的兩個數(除了符號不同以外完全相同),我們說其中一個是另一個的相反數,0的相反數是0.

相反數的表示方法:一般地,數a的相反數是-a.這里a表示任意的一個數,可以是正數?負數或者0.

多重符號的化簡:(1)在一個數的前面添上一個“+”號,仍然與原數相同,如+5 = 5,+(-5) = -5.(2)在一個數的前面添上一個“-”號,就成為原數的相反數.如-(-3)就是-3的相反數,因此,-(-3) = 3.

5. 絕對值:幾何定義—— 一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離,數a的絕對值記作“a”.代數定義—— 一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0.即

有理數大小的比較法則:正數都大于0,負數都小于0,正數大于一切負數;兩個負數,絕對值大的反而小.

注 比較兩個負數大小的方法是:(1)先分別求出這兩個負數的絕對值;(2)比較這兩個絕對值的大小;(3)根據“兩個負數,絕對值大的反而小”作出正確的判斷.

二?法則與運算律

1. 有理數的加法運算法則.

(1)同號兩數相加,取相同的符號,并把絕對值相加.

若a > 0且 b > 0,則a + b = + (| a | + | b |);

若a < 0且 b < 0,則a + b = - (| a | + | b |).

(2)異號兩數相加.

①絕對值不相等,取絕對值較大的加數的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值.

若a > 0 ,b < 0且 | a |>| b |,則a + b = +(| a |-| b |),

若a > 0 ,b < 0且 | a |<| b |,則a + b = -(| b |-| a |).

②絕對值相同,和為0,也就是互為相反數的兩個數的和為0.

若a > 0,b < 0, 且 |a| = |b|,則a + b = 0.

(3)一個數與0的和仍得這個數,即a + 0 = a.

2. 有理數的減法法則.

減去一個數,等于加上這個數的相反數.用字母算式表示減法法則為:a - b = a + (-b).

3.加法運算律.

(1)加法交換律:a + b = b + a.

(2)加法結合律:(a + b) + c = a + (b + c).

三?典型例題

例1 把下列各數填在相應的集合內:

-3,2,-1,,-0.58,0,-3.141 592 6,0.618,.

整數集合:{ …};

分數集合:{ …};

負數集合:{ …};

非負數集合:{ …}.

集合是指具有某一特征的一類事物的全體,大家要特別注意0這個數,在考慮問題時千萬不要漏掉對0的考慮.題目中只是具體地填出幾個符合條件的數,只是一部分,所以通常最后要加省略號.

解:整數集合:{-3,2,-1,0,…};

分數集合:{-,-0.58,-3.141 592 6,0.618,,…};

負數集合:{-3,-1,-,-0.58,-3.141 592 6,…};

非負數集合:{2,0,0.618,,…}.

例2 化簡下列各數:

(1)-[+(-17)];

(2)--+-3;

(3)-[-(a-b)];

(4)-+[-(-a)].

化簡一個數前面的“多重符號”的規則是:當這個數前面的“-”號的個數是奇數時,化簡結果的符號為“-”,當“-”號的個數為偶數時,化簡結果的符號為“+”.

解:(1)-[+ ( -17)] = -(-17) = 17.

(2)--+-3=---3=-+3=-3.

(3)-[-(a-b)]=+(a-b)=a-b.

(4)-+[-(-a)]=-[+(+a)]=-a.

例3 畫一個數軸,在數軸上表示出下列各數,并用“<”號把下面的數連接起來.

1,-3,-1,0,2.

(1)畫數軸必須具備數軸三要素:原點?單位長度和正方向.

(2)用“<”號連接這些數,需要將這些數從小到大排列.而在數軸上右邊的數總是大于左邊的數,所以只要將數軸上的數從左到右用“<”號連接即可.

解:(1)如圖1.

圖1

(2)-3<-1<0<1<2.

例4 計算:

(1)11-39.5+10-2.5-4+19;

(2)+2-(-10)--2+(-10).

有理數的運算應先確定符號,再進行絕對值的計算,同時靈活運用運算律進行簡便計算.

解:(1)11-39.5+10-2.5-4+19

=11+10+19-39.5-2.5-4

=[(11+19)+10]+[(-39.5-2.5)-4]

=40-46

=-6.

(2)+2 - (-10) - -2 + (-10)

=2 + 10 + 2 - 10

=2 + 2 + (10 - 10)

=4.

例4 計算:-6+2+-8+-3-.

此題不僅有加減法,還有絕對值,計算的時候,先算出絕對值符號內的值,再進行加減法的運算.

解: -6+2+-8+-3-

= -3+-8+-3

= 3+-8+3

=-5+3

=-1.

例5 有理數a?b?c在數軸上對應的點分別為A?B?C,其位置如圖2.試化簡:c -c+b+a-c+b+a.

有理數a?b?c,在數軸上對應的點分別為A?B?C,在數軸上A點在原點的右邊,它表示的數a>0,B?C兩點在原點左邊且C點在B點的右邊,b<0,c<0,它表示的數c大于B點表示的數b,所以b>c.利用上述條件去絕對值符號,原絕對值符號內的數是正的,去掉絕對值符號,符號保持不變;原絕對值符號內的數是負的,去掉絕對值符號后原數改為它的相反數.

解:|c|-|c+b|+|a-c|+|b+a|

=-c-[-(c+b)]+(a-c)+[-(b+a)]

=-c+(c+b)+(a-c)-(b+a)

=-c+c+b+a-c-b-a

=-c.

例6 已知a?b是有理數,且|2a+1|+|2-b|=0,求a+2b的值.

非負數之和等于0,則每個非負數為0.

解:因為|2a+1|+|2-b|=0,所以 |2a+1|=0,|2-b|=0.因而2a+1=0,2-b=0.所以a=-,b=2.故a+2b=-+2×2=.

例7 化簡:|x+2|-|3x-4|.

化去絕對值,首先令每個絕對值為0,再把所得到的字母的值標在數軸上分段討論.

解:由x+2=0,3x-4=0,得x=-2, x=,-2?把數軸分成3段,x≤-2,-2.

當x≤-2時,原式=-(x+ 2)+(3x- 4)=2x-6;

當-2

當x>時,原式=x+2-3x+4=-2x+6.

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