《豐富的圖形世界》復習導學

萬大燕

一?復習目標

1. 能在具體情境中認識圓柱?圓錐?正方體?長方體?棱柱?球等幾何體,并能用自己的語言描述它們的特征.

2. 了解棱柱?圓柱?圓錐的側面展開圖,能根據展開圖判斷和制作簡單的立體圖形.

親身經歷切截正方體的過程,體會面與體的轉換,提高動手操作的能力.

3. 會從不同方向觀察同一個物體,能識別簡單物體的三種視圖.會畫正方體及簡單組合的三種視圖,并在小正方體內填上表示該位置小立方塊的個數.

4. 能在具體情境中認識多邊形,拓展思維空間.

二?重點難點

1. 本章重點:(1)掌握簡單的棱柱?圓柱?圓錐的側面展開圖,特別是正方體的展開與折疊,根據所給的平面圖形判斷是否能折疊成正方體.

(2)識別簡單幾何體的三種視圖.畫一個簡單幾何體的三視圖.根據所給幾何體選擇主視圖?左視圖或俯視圖.

(3)將一個多邊形分割成三角形,探究其中的規律.

2. 本章難點:能由實物的形狀抽象出幾何圖形,由幾何圖形想象出實物的形狀,進行幾何體與其三視圖?展開圖之間的相互轉化是本章的學習難點.

三?要點回顧

1. 常見的幾何體

常見的幾何體有圓柱?圓錐?正方體?長方體?棱柱?球等,其形狀如圖1,請同學們分別指出圖1中各圖的名稱.并注意生活中的實物與所學的幾何體對應起來,如水桶?水杯等可以看做圓柱.

另外,棱柱有直棱柱和斜棱柱,我們只討論直棱柱,簡稱棱柱.如:正方體和長方體都是直棱柱.

2. 平面圖形

3. 展開與折疊

(1)展開:將某些幾何體的表面沿某些棱剪開,可以展成一個平面圖形. 學習時可嘗試用不同的方法展開同一幾何體,但剪開的方式不同,展開成的平面圖形也就不同.

(2)折疊:把一個平面圖形經過折疊圍成一個幾何體. 但并不是所有的平面圖形都能經過折疊圍成一個幾何體.

如圖5,試判斷其中的平面圖形能否折疊成一個幾何體,若能,將折疊成的幾何體的名稱填在橫線上.

6.請畫出圖6的三視圖.(同學們自己動動手)

四?思想方法總結

1. 觀察與動手操作是研究數學的重要方法,本章自始至終貫穿著這樣的方法.在學習過程中要注意多聯系已有的生活經驗和實物,根據需要可以畫一畫?剪一剪?折一折?切一切?看一看?想一想,通過觀察與動手操作可以更好地感受空間圖形與平面圖形之間的關系.

2. 學習本章所介紹的常見幾何體,重在直觀感知,不要記憶概念的形式化表述.通過實物認識,如長方體?棱柱等圖形,能用自己的語言描述它們的有關特征,并經歷從現實世界中抽象出幾何圖形的過程,感受圖形世界的豐富多彩,能對幾何體進行簡單的分類.

3. 運用從特殊到一般的方法,根據各個特殊的?簡單的棱柱底面多邊形的邊數,可以發現并歸納其點?線?面的個數關系.

4. 本章還滲透了“類比”?“具體與抽象”?“借助平面圖形認識幾何體”等思想方法.

五?例題剖析

例1 下列圖形中,都是柱體的一組是().

解析:柱體包括圓柱體和棱柱體,現在棱柱體指直棱柱.選C.

直棱柱體的上下底面相同,側面是長方形;棱錐的側面是三角形.掌握好各類圖形的特征,就能輕松辨認.但組合體在辨認時要注意是由哪幾類組合而成.

例2 請將圖8中的6個幾何體進行分類,并說明它們是由哪些面圍成的?

分析:幾何體的分類,一般可參照知識結構來區分(如:柱體?錐體?球體等).

解:圖中的(1)?(2)?(6)是柱體.其中(1)是長方體,它由6個長方形的平面圍成;(2)是圓柱體,它由2個圓和1個曲面圍成;(6)是棱柱體,它由2個三角形平面和3個長方形平面圍成.(3)?(4)是錐體.其中(3)是圓錐體,它由1個圓和1個曲面圍成;(4)是棱錐體,它由4個三角形平面圍成.(6)是球體.它由一個曲面圍成.

將幾何體分類,方法并不唯一,只要能說明分類的理由即可.但要注意,按某一標準分類時,要做到不重不漏,分類標準不同時,分類的結果也就不盡相同.

例3下列圖形中,不能表示長方體平面展開圖的是().

解析:要判斷哪一個圖形不能折疊成長方體,需要判斷所給圖形中每個小長方形是否都有唯一的對面,如果所給圖形中的小長方形的對面不唯一或沒有對面,就不能通過折疊圍成長方體.觀察所給4個選項中的D,其圖形中下面的兩個小長方形找不到對面.故選D.

與展開和折疊有關的試題,多以選擇題的形式出現,解決此類問題也可采用排除法.

例4 下面4個圖形都是由相同的6個小正方形紙片組成的,小正方形上分別貼有北京2008年奧運會吉祥物福娃(貝貝?晶晶?歡歡?迎迎?妮妮)的卡通畫和奧運五環標志,如果分別用“貝?晶?歡?迎?妮”五個字來表示五個福娃,那么折疊后能圍成圖9所示正方體的圖形是().

解析:解題時首先確定能否折疊成正方體,經觀察可知選項D中的圖形不能折成正方體;然后再對選項A?B?C加以分析,由A?B可知“歡”的對面是“妮”,折起來的正方體不符合要求,所以折疊后能圍成圖9所示正方體的圖形只能是選項C所給的圖形.

本題以奧運會吉祥物福娃為背景,考查了同學們的空間想象能力及動手操作的自主探索能力.

例5 根據圖10所示的立體圖形的“三視圖”說出立體圖形的名稱.

解析:把三個視圖結合起來,綜合考慮不難發現,4個立體圖形依次是:(1)圓柱;(2)正三棱錐;(3)長方體;(4)正六棱柱.

根據“三視圖”來描述立體圖形的形狀時,需要將三個平面圖形結合起來,整體分析并進行空間想象,有利于形成整體意識?空間觀念及綜合分析能力.此例反映了空間立體圖形與平面圖形的相互轉化關系.在學習中,同學們應多實踐,多觀察,學會從不同的角度看待事物.

例6 圖11表示一個由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖,小正方形中的數字表示該位置上小立方塊的個數,那么該幾何體的主視圖為().

解析:根據俯視圖中最左邊一列小正方體的個數是4,所以主視圖中左邊一列的小正方形有4個;俯視圖中間一列小正方體個數為1?2?3,因此主視圖中間一列的小正方形為3個;俯視圖中最右邊一列的小正方體的個數是2?1,所以主視圖右邊一列的小正方形是2個.故選C.

解決本題的關鍵是由俯視圖中標明的小正方體的塊數想象出原圖,再判別其主視圖.

例7 圖12是幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖,則搭成這個幾何體的小正方體的個數是.解析:從俯視圖可以直接確定最底層有3個小正方體,再由主視圖看,可以判斷最左邊有1層,即圖13俯視圖的A中只有1層;主視圖的中間和右邊都是2層,可以判斷圖13俯視圖的B?C各有2層.所以小正方體的個數為5.

解決此類題目可先由俯視圖確定最底層有幾塊,再由主視圖和左視圖判斷俯視圖的各個位置上各有幾層立方體,標注出來,相加即可確定搭成這個幾何體的小正方體的個數.

例8 將直角梯形繞直線l旋轉一周,可以得到圖14立體圖形的是().

解析:本題考查了面與體之間的關系——面動成體.將選項中的圖形繞所給直線旋轉一周,想象它所掃過的區域的形狀即可判別只有選項B中的圖形旋轉后能得到圖14的立體圖形.故選B.

注意常見的可由平面圖形旋轉而成的空間圖形:

(1)圓柱可由長方形繞它的一條邊旋轉一周而成;

(2)圓錐可由直角三角形繞它的一條直角邊旋轉一周而成;

(3)球是半圓繞它的直徑旋轉一周而成;

(4)圓臺是直角梯形繞直角腰旋轉一周而成.

例9用一個平面去截一個正方體,如果截去的幾何體有4個面,請回答下列問題:

(1)截面一定是什么圖形?

(2)剩下的幾何體可能有幾個頂點?

解:(1)如果截去的幾何體是一個三棱錐,那么截面一定是一個三角形.

(2)剩下的幾何體可能有7個?8個?9個?10個頂點,如圖15.

本題是典型的開放性問題,具有很強的挑戰性.解題的關鍵在于抓住“截面為三角形”這一特點,于是可聯想到上述各種不同情況.

例10 圖16是正方體木塊,把它切去一塊,得到圖17?圖18?圖19?圖20所示的木塊.

(1)我們知道,圖16的正方體木塊有8個頂點?12條棱?6個面,請你將圖17?圖18?圖19?圖20中木塊的頂點數?棱數?面數填入表1.

(2)表1中各種木塊的頂點數?棱數?面數之間的數量關系可以歸納出一定的規律,請你試寫出頂點數x?棱數y?面數z之間的數量關系式.

分析:(1)只要將圖 17?圖18?圖19?圖20各個木塊的頂點數?棱數?面數數一下就行.數的時候要注意:圖中不能直接看到的那一部分不要遺漏,也不要重復,可通過想象計數,正確填入表內.(2)通過觀察找出每個圖中“頂點數?棱數?面數”之間隱藏著的數量關系,這個數量關系用公式表示出來即可.

解:(1)見表2:

(2)規律:x + z - 2 = y.

看懂題是解決本題的關鍵,通過觀察,正確填表,是本題的重要一步.第(2)問也是觀察,注意觀察數據間的變化規律,重點考查同學們的空間想象能力.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內容請以PDF格式閱讀原文